Дан треугольник A₁A₂A₃ со сторонами  A₁A₂=21, A₂A₃=17, A₁A₃=10. Воробей вначале сел в точку A₄ пересечения медиан треугольника A₁A₂A₃, затем прыгнул в точку A₅ пересечения медиан треугольника A₂A₃A₄, затем прыгнул в точку A₆ пересечения медиан треугольника A₃A₄A₅, и т.д. Прыгая так бесконечно долго, воробей стремится к некоторой точке A.

Найдите сумму квадратов расстояний от точки A до всех вершин треугольника A₁A₂A₃.

Бабушка к Пасхе покрасила яйца: 10 красных, 10 желтых и 10 розовых. Первой к ней в гости пришла внучка и случайным образом взяла три яйца. Затем к ней в гости пришел внук и тоже случайным образом взял три яйца. Какова вероятность того, что внук взял яйца трех различных цветов?

Вершину С правильного треугольника АВС соединили отрезком с точкой M, делящей сторону AB в отношении 3:5.

В образовавшиеся при этом два треугольника вписали круги, площадь меньшего из них равна 52. Найдите площадь большего круга.

При исполнении пенальти футболист попадает в створ ворот с вероятностью 0,9. Вратарь во время пенальти угадывает направление с вероятностью 0,5. Вероятность того, что вратарь отразит мяч, если угадает направление, составляет 0,7, а вероятность того, что вратарь отразит мяч, если не угадает направление, составляет 0,1.  Какова вероятность, что футболист забьет гол вратарю? Ответ укажите в процентах.

На каждой грани кубика написано число. При одновременном бросании двух кубиков кубик A выигрывает у кубика B, если число, выпавшее на кубике A больше числа, выпавшего на кубике B. Будем говорить, что кубик A сильнее кубика B, если кубик A чаще выигрывает у кубика B и записывать A > B.

Можно ли на гранях пяти кубиков расставить числа от 1 до 30 (каждое по одному разу) так, чтобы оказалось: Зеленый кубик > Черный кубик > Оранжевый кубик > Желтый кубик > Белый кубик > Зеленый кубик ?

На приведенном примере числа на кубиках расставлены случайным образом.

Если бумажную полосу единичной ширины завязать простым узлом так, чтобы он стал плоским, то узел примет форму правильного пятиугольника (рис. слева).

Пятиугольник на рисунке справа получен из бумажной полосы завязыванием пяти таких узлов. Чему равна длина полосы, если в сложенном виде её противоположные концы совпадают с отрезком АВ. Ответ округлите до целого числа.

Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной параболой  у=2020-х² и осью Ох?

Числа натурального ряда записаны на клетчатой бумаге в форме спирали: в одной из клеток записано число 1, справа от неё в соседней клетке записано число 2, вниз от неё в соседней клетке записано число 3, и так далее, двигаясь по часовой стрелке образуется спираль из натурального ряда.

В ней можно выделить концентрические квадратные рамки, центром которых является клетка с числом 1. Найдите сумму чисел в рамке размером 101х101.

На рисунке представлены графики шести функций, содержащие операцию «целая часть числа» (антье).

Графики обозначены латинскими буквами. Ниже приведены формулы этих функций, которые обозначены цифрами. Установите соответствие между графиками функций и их формулами.

В ответе запишите шестизначное число, которое получается после замены букв в слове ABCDEF соответствующими им цифрами. 

Решите уравнение 1²⋅n + 2²⋅(n−1) + … + (n−1)²⋅2 + n²⋅1= k². Это уравнение является математической моделью геометрической задачи на разбиение квадрата со стороной k на систему меньших квадратов. В ответе укажите наименьшее число k>1, допускающее геометрическую интерпретацию найденного решения.