Ломаная, соединяющая середины противоположных сторон правильного шестиугольника со звеньями от 1 до 6 и углами между ними π/3,  делит шестиугольник на две части (смотрите рисунок).

Найти отношение площади меньшей части к большей.

Трапеция с размерами длин оснований и высоты, которые представляют простые числа разделена параллельным к основаниям отрезком на две равновеликие трапеции. Эти две трапеции тоже имеют те же параметры из простых чисел. Найти наименьшую площадь первоначальной трапеции.

На рисунке указаны длины звеньев ломаной в правильном шестиугольнике.

Длина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC представима в виде x + y*√3, где x и y – рациональные числа.

Найдите сумму x+y.

Натуральные числа от 1 до n расставлены по кругу (без повторов) так, что сумма любых двух соседних чисел равна точному квадрату. При каком наименьшем значении n такая расстановка возможна?

Для примера, на рисунке приведена расстановка чисел при n=15, в которой сумма любых двух соседних чисел является квадратным числом, кроме лишь одной, выделенной красным отрезком. 

Две дуги окружностей с центрами двух смежных вершин квадрата и радиусами, равными стороне квадрата, делят внутри квадрат на 4 части. В каждую из частей вписаны окружности с площадями, имеющими  целочисленные значения количества π. Найти наименьшую суммарную площадь этих кругов. В ответе указать количество π.  

Внутри окружности, квадрат радиуса которой равен 85, расположен прямоугольный треугольник АВС (АВ-гипотенуза) так, что АВ является хордой. Найти квадрат расстояния СО (О-центр окружности), если известно, что катеты треугольника равны 2 и 8.

Администратор сайта проводит конкурс на лучшую авторскую задачу. Условия таковы: участники анонимно предлагают одну свою задачу. После публикации задач все участники дают оценку каждой задаче, кроме своей. В конкурсе приняли участие 6 человек. Каждый участник за лучшую (по его мнению) задачу давал 5 баллов, за следующую 4 балла, и т.д., за пятую - 1 балл. По каждой задаче баллы суммировались - это рейтинг задачи. Оказалось, что все рейтинги различны.

А) Могли ли все рейтинги быть простыми числами?

Б) Могла ли сумма четырёх наибольших рейтингов быть в три раза больше суммы остальных рейтингов?

В) Какова минимальная сумма третьего и четвёртого по величине  рейтингов?

В качестве ответа на вопросы А), Б) вводите 1, если «Да» и 0, если «Нет»; на вопрос В) вводите сумму рейтингов.

Например, ответ 1029 означает: А) «Да», Б) «Нет», В) 29.

В квадрате ABCD расположена окружность. Из вершин квадрата к окружности проведены отрезки касательных, на которых построены четыре равносторонних треугольника (см. рис.).

Три из них имеют площади 15, 20, 42. Найдите площадь четвертого треугольника.

Малое основание, боковая сторона (высота) и большое основание прямоугольной трапеции образуют арифметическую прогрессию целочисленных значений. Перпеникуляр из середины наклонной боковой стороны делит эту трапецию на два четырехугольника с целочисленными площадями. Найти отношение площадей этих четырехугольников (меньшей к большей) для трапеции наименьшей площади.

Отрезки, соединяющие центры оснований правильной шестиугольной призмы и центры противоположных граней правильного октаэдра, совпадают. Боковое ребро призмы пересекает ребро октаэдра в его середине. Найти наибольшее отношение объёма общей части тел к объёму октаэдра.