Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 35 36 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 770. Максимум последнего числа

Задачу решили: 41

всего попыток: 59

Задача опубликована: 30.07.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

zmerch

В последовательности $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$ четыре единицы, три двойки и три тройки. Пусть $z_1 = x_1$ и $z_{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \cdot \cfrac{z_n x_{n+1}}{z_n + x_{n + 1}}, \quad n = 1, 2, \ldots, 9.$

Найдите наибольшее значение $z_{10}$ .

(Ответ дробный)

+ЗАДАЧА 772. Уравнение в целых числах

Задачу решили: 65

всего попыток: 176

Задача опубликована: 03.08.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

levvol

Найдите количество упорядоченных пар целых чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих условию
$4x^3 - 5x^2y + 10xy^2 + 12y^3 - 108x - 81y = 0,$
и таких, что $x$ и $y$ по модулю не превосходят $1000$ .

+ЗАДАЧА 777. Система неравенств

Задачу решили: 88

всего попыток: 120

Задача опубликована: 15.08.12 08:00

Прислал: georgp

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 2

Лучшее решение:

Volga (Xxx Xxx)

Заданы 3 системы неравенств

3x-y≤11, 2x-5y≤-10,

-4x+2y≤5, x+y≤10,

2x-y≤5, 4x-2y≥10.

Точки плоскости, координаты которых удовлетворяют данным системам, образуют некоторое множество. Найдите точку этого множества с максимальной суммой координат x и y. В ответе укажите эту сумму.

+ЗАДАЧА 782. Максимальная сумма

Задачу решили: 67

всего попыток: 101

Задача опубликована: 26.08.12 08:00

Прислал: georgp

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

Dremov_Victor (Виктор Дремов)

Известно, что 1²x₁+2²x₂+3²x₃+...+200²x₂₀₀≤2040000, где x₁_, x_2,x₃ ,…. X₂₀₀ принимают значения 0 или 1.

Найти максимальное значение 1²x₁+2²x₂+3²x₃+...+200²x₂₀₀.

+ЗАДАЧА 784. Бесконечный лес

Задачу решили: 55

всего попыток: 659

Задача опубликована: 31.08.12 08:00

Прислал: TALMON

Источник: Израильская книга "Миспар хазак" ("сильное чи...

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

Angelina

В одном плоском лесу есть бесконечно много деревьев. Расстояние между любыми двумя деревьями - целое число метров.

Рассмотрим три дерева, стояших в точках A, B и C.

Какое минимально возможное положительное значение угла ABC в градусах?

+ЗАДАЧА 787. Треугольник и окружность

Задачу решили: 35

всего попыток: 79

Задача опубликована: 07.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 13

Лучшее решение:

zmerch

В треугольнике ABC

$\angle ABC < 90^\circ, \quad AB = 15, \quad BC = 27.$

Через середину M стороны AC провели прямую l перпендикулярно прямой BC. Прямая l пересекает окружность с центром в точке A и проходящую через точку M в точке $P(\ne M)$ . Рассмотрим окружность, проходящую через точки B и M, центр O которой лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC и находится на расстоянии 3 от BC.

Обозначим пересечение этой окружности с прямой l за Q. Найдите площадь треугольника OPM, если PQ = 30.

+ЗАДАЧА 793. Квадратичные иррациональности

Задачу решили: 43

всего попыток: 112

Задача опубликована: 21.09.12 08:00

Прислал: bbny

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 7

Лучшее решение:

Sam777e

Подмножество S действительных чисел строится следующим образом:

1. Число 1 принадлежит S

2. Для любой пары чисел a и b из S числа a+b, a-b, a*b, a/b (b ≠ 0), sqrt(a) (a >= 0) принадлежат S

Теперь для каждого числа из S определим ранг (целое неотрицательное число):

Будем говорить, что числа -1, 0 и 1 имеют ранг 0 в S, числа ранга k и ниже образуют подмножество S_k множества S, а числа, получаемые из пар чисел S_k пятью вышеуказанными бинарными и унарными операциями и не принадлежащие S_k, имеют ранг k+1.

Т.е. ранг - это минимальный номер шага, на котором мы можем получить число из исходного множества S₀ = {-1,0,1}

Найдите ранг числа

+ЗАДАЧА 794. Касающиеся окружности

Задачу решили: 26

всего попыток: 91

Задача опубликована: 24.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 3

Лучшее решение:

Vkorsukov

Описанная окружность $O$ треугольника $ABC$ касается окружности $O'$ в точке $A$ . Пусть прямая $AB$ пересекает окружность $O'$ в точке $D(\ne A)$ ; прямая $BC$ пересекает окружность $O'$ в точке $E$ , лежащей с точкой $C$ по разные стороны от прямой $AD$ , и точке $F$ . Касательная к окружности $O$ в точке $B$ пересекает отрезок $DF$ в точке $K$ , прямая $CD$ пересекает окружность $O'$ в точке $L(\ne D)$ . Найдите величину (в градусах) $\angle CAB$ , если $\angle CFA = 38^\circ$ , $\angle DKB = 47^\circ$ , $\angle CLA = 60^\circ$ .

+ЗАДАЧА 798. Ровно четыре решения

Задачу решили: 43

всего попыток: 281

Задача опубликована: 03.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Angelina

Пусть $f(x) = x^2 -10x + \frac{p}{2}$ . Найдите такое натуральное $p$ , что уравнение $f \circ f \circ f (x) = f(x)$ имеет ровно 4 различных действительных решения.