Сначала первая труба наполняла бассейн ровно половину времени, необходимого двум другим трубам, чтобы полностью его наполнить. Потом вторая труба наполняла бассейн ровно половину времени, необходимого двум другим трубам, чтобы полностью его наполнить. Наконец, третья труба наполняла бассейн ровно половину времени, необходимого двум другим трубам, чтобы полностью его наполнить. В результате бассейн оказался наполненным за 2 часа. За сколько минут все три трубы наполняют бассейн, если работают одновременно?

В качестве первого члена последовательности возьмём любое натуральное число, кратное трём. Все остальные её члены получаются по правилу: каждое следующее число равно сумме кубов всех цифр предыдущего. Оказывается, что в любой такой последовательности рано или поздно появляется некое число, которое уже не меняется. Найдите это число.

Обычные автобусы ходят по кольцевому маршруту с интервалом 8 минут и проезжают один круг за 2 часа. А экспрессы ходят с интервалом 15 минут, но идут они быстрее и проезжают один круг за 1 час. Сколько встречных экспрессов увидит водитель обычного автобуса за время своего движения по всему маршруту? (Имеется в виду число встреч, а не разных автобусов.)

На доске выписаны в ряд нули и единицы (встречаются и те, и другие). Любые две цифры, между которыми написано 10 или 15 цифр, совпадают. Каково максимально возможное число цифр на доске?

На шахматной доске стоят 64 ладьи (на каждой клетке по ладье). Саша снимает их с доски по очереди, следуя правилу: можно снять любую ладью, которая бьёт нечётное число других оставшихся на доске ладей. Какое максимальное количество ладей удастся снять Саше? (Как обычно, ладьи бьют друг друга и по вертикали, и по горизонтали, но только если между ними нет других ладей.)

От пристани А вниз по течению реки отправились одновременно катер и плот. Доплыв до пристани Б, катер немедленно повернул обратно и встретил плот ровно через 3 часа после отплытия от А. Доплыв до А, катер снова повернул и догнал плот ещё через 2 часа после первой встречи с ним. Через сколько минут после второй встречи с плотом катер причалит к Б?

Погремушка состоит из синего кольца и надетых на него двенадцати шариков: девяти красных и трёх жёлтых. Сколько может быть выпущено различных погремушек? (Погремушка не меняется при её переворачивании и передвижении шариков по кольцу.)

На ста карточках написаны различные целые числа от 1 до 100 (по одному числу на каждой карточке). Какое минимальное число карточек нужно наудачу взять, чтобы среди них обязательно нашлись три карточки, сумма чисел на которых делится на три? 

Дурацкое домино похоже на обычное, но состоит из 36 костей, на которых написаны всевозможные различные пары целых чисел от 0 до 7: 0-0, 0-1, 0-2,...,0-7, 1-1, 1-2,... Найдите наименьшее число цепочек, в которые можно выложить все кости дурацкого домино по обычному правилу — кости в цепочке прилегают друг к другу одинаковыми числами, например: 0-1, 1-1, 1-3, 3-7, 7-4. (Обычное домино состоит из 28 костей, на которых написаны все различные пары целых чисел от 0 до 6, все его кости можно выложить в одну цепочку.)

Какое наименьшее число матчей нужно провести, чтобы из 24 теннисистов гарантированно определить двух сильнейших, т.е. честно разыграть между всеми участниками I и II места? (Любые два участника играют в разную силу; в каждом матче побеждает сильнейший; если А сильнее Б, а Б сильнее В, то А сильнее В.)