В качестве первого члена последовательности возьмём любое натуральное число, кратное трём. Все остальные её члены получаются по правилу: каждое следующее число равно сумме кубов всех цифр предыдущего. Оказывается, что в любой такой последовательности рано или поздно появляется некое число, которое уже не меняется. Найдите это число.

Пробирка, содержащая посев бактерий, затерялась среди 1000 других таких же пробирок с похожей, но стерильной жидкостью. В лаборатории есть 10 мышей, у которых признаки заболевания появляются не позже, чем через 24 часа после заражения этими бактериями. Нужно как можно быстрее найти пробирку с бактериями. Сколько часов потребуется для этого? (Чтобы заразить одну мышь, достаточно микроскопической дозы посева.)

Клетки шахматной доски раскрашены не в два цвета, а в несколько. Расстоянием между двумя клетками называется длина кратчайшего пути обычной шахматной ладьи от одной клетки до другой. (Длины сторон клеток равны единице.) Известно, что любые две клетки, находящиеся на расстоянии 6, — разных цветов. В какое наименьшее число цветов могут быть раскрашены клетки такой доски?

Обычные автобусы ходят по кольцевому маршруту с интервалом 8 минут и проезжают один круг за 2 часа. А экспрессы ходят с интервалом 15 минут, но идут они быстрее и проезжают один круг за 1 час. Сколько встречных экспрессов увидит водитель обычного автобуса за время своего движения по всему маршруту? (Имеется в виду число встреч, а не разных автобусов.)

Какое минимальное число выстрелов нужно сделать в игре "морской бой", чтобы наверняка попасть в "крейсер"? (В "морской бой" играют в квадрате 10×10 клеток, "крейсер" — это прямоугольник 1×4 клетки, а одним выстрелом поражается одна клетка.)

На доске выписаны в ряд нули и единицы (встречаются и те, и другие). Любые две цифры, между которыми написано 10 или 15 цифр, совпадают. Каково максимально возможное число цифр на доске?

На шахматной доске стоят 64 ладьи (на каждой клетке по ладье). Саша снимает их с доски по очереди, следуя правилу: можно снять любую ладью, которая бьёт нечётное число других оставшихся на доске ладей. Какое максимальное количество ладей удастся снять Саше? (Как обычно, ладьи бьют друг друга и по вертикали, и по горизонтали, но только если между ними нет других ладей.)

От пристани А вниз по течению реки отправились одновременно катер и плот. Доплыв до пристани Б, катер немедленно повернул обратно и встретил плот ровно через 3 часа после отплытия от А. Доплыв до А, катер снова повернул и догнал плот ещё через 2 часа после первой встречи с ним. Через сколько минут после второй встречи с плотом катер причалит к Б?

Погремушка состоит из синего кольца и надетых на него двенадцати шариков: девяти красных и трёх жёлтых. Сколько может быть выпущено различных погремушек? (Погремушка не меняется при её переворачивании и передвижении шариков по кольцу.)

На ста карточках написаны различные целые числа от 1 до 100 (по одному числу на каждой карточке). Какое минимальное число карточек нужно наудачу взять, чтобы среди них обязательно нашлись три карточки, сумма чисел на которых делится на три?