Существует теория, что ночная бабочка для навигации использует Луну: она летит по прямой, поддерживая постоянным угол между направлением своего полёта и направлением на Луну. Если же она примет за Луну уличный фонарь или другой близкий к ней источник света, то полетит вокруг него по спирали, приближаясь или удаляясь от него. (Пограничный случай полёта по окружности бывает лишь в теории.)

Через сколько секунд ночная бабочка долетит до фонаря, если он находится в 18-ти метрах от неё, летит она со скоростью 1 м/с и поддерживает угол 60° между направлением своего полёта и направлением на фонарь? (Бабочка и фонарь — это точки в пространстве.)

В далёкой стране к власти пришёл военный диктатор, который хочет стать президентом, победив на демократических выборах, организованных по следующей системе. В первом туре все избиратели объединяются в равные по численности группы, и от каждой группы большинством голосов избирается представитель для голосования во втором туре. Во втором туре все избранные в первом туре представители объединяются в равные группы и в каждой группе выбирают её представителя для голосования в третьем туре. И так далее: в последнем туре представители избирают президента. В стране ровно 5 760 000 избирателей, среди которых n человек безоговорочно поддерживают диктатора (поскольку состоят в регулярной армии). При каком минимальном n можно так организовать выборы, чтобы диктатор гарантированно был избран президентом? (При равенстве голосов в следующий тур проходят независимые кандидаты.)

Диктатор сам заранее определяет количество туров и сколько представителей будут содержать группы в каждом туре — это число может меняться от тура к туру; он также может распределить своих сторонников по группам так, как ему выгодно. Любой избиратель может голосовать за себя, а сам диктатор входит в число n своих сторонников.

Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 7, либо 8, либо 9 человек. На какое наименьшее число кусков ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну и между семью, и между восемью, и между девятью гостями?

Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 30°. Из этого угла в середину противоположной стороны выпущен шар, который при ударах о стенки бильярда отскакивает от них по закону: угол падения равен углу отражения.

Сколько раз шар ударится о стенки прежде, чем попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°? 

Перед двумя игроками 4 кучки из спичек: в первой — 11, во второй — 29, в третьей — 37 и в четвёртой — 41 спичка. Каждый игрок своим ходом берёт любое (ненулевое) число спичек из любой кучки по своему выбору — можно взять хоть всю кучку, но брать спички из разных кучек нельзя. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек и из какой кучки должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе введите произведение количества взятых спичек и номера кучки.

Сколько квадратных сантиметров составляет площадь равнобедренной трапеции, если длина её средней линии равна 21 см, а диагонали — 29 см?

Найдите трёхзначное число, имеющее наибольшее число различных делителей.

Есть 10 упаковок по 100 одинаковых монет в каждой. Есть несколько упаковок с фальшивыми монетами, вес каждой из которых на 0,1 грамма меньше, чем настоящей. Имеются весы, измеряющие вес с точностью до 0,1 грамма. За какое минимальное число взвешиваний можно выявить все упаковки с фальшивыми монетами? (Веса настоящих монеты известны. В каждой упаковке либо все монеты фальшивые, либо все настоящие. Упаковки можно вскрывать.)

Найти максимальное целое число, которое нельзя представить как сумму двух взаимно простых целых чисел, больших 1.

Перед двумя игроками 5 кучек из спичек: в первой — 7, во второй — 10, в третьей — 18, в четвёртой — 19 и в пятой — 24 спички. Каждый игрок своим ходом берёт любое (ненулевое) число спичек из одной или двух кучек по своему выбору — например, можно взять только одну спичку, а можно и все спички из двух кучек, но вообще не брать спичек или брать спички из трёх разных кучек нельзя. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек и из каких кучек должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе введите общее количество взятых спичек.