На клетчатой бумаге со стороной клетки 5 мм нарисована окружность радиуса 10 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Какое минимальное число клеток она может пересекать?

– А у тебя дети есть?

– Три дочери.

– Сколько им лет?

– Если перемножить, то получится как раз мой возраст. И твой, впрочем, тоже.

– Этой информации мне недостаточно...

– А если сложить, то получится сегодняшнее число.

Поразмыслив:

– И этой информации мне недостаточно...

– Средняя похожа на меня.

– Вот теперь я знаю ответ на свой вопрос.

Сколько лет средней дочери?

От города А до города Б расстояние 35 км. Два велосипедиста выехали из А и из Б одновременно и навстречу друг другу, первый со скоростью 19 км/ч, а второй — 16 км/ч. Перед отправлением на лоб первого велосипедиста, ехавшего из А, села муха, которая взлетела, как только он начал движение, и полетела по направлению к Б со скоростью 40 км/ч. Долетев до второго велосипедиста, ехавшего из Б, она села к нему на лоб, тут же взлетела и полетела к А со скоростью 30 км/ч. (Из А в Б дует ветер.) Долетев до первого велосипедиста, она снова села к нему на лоб, тут же взлетела и полетела к Б, села к нему на лоб... И так далее, пока велосипедисты не столкнулись лбами, раздавив муху. Сколько километров она пролетела?

Прямоугольный треугольник с углом 45° разрезан на n>1 подобных ему треугольников, никакие два из которых не совпадают по размерам. Найдите наименьшее возможное значение n.

Перед Вами 25 окопов в ряд. В каком-то из них сидит снайпер. У Вас в руках гранатомёт, позволяющий вдребезги разнести всё содержимое любого из окопов (сам окоп при этом остаётся цел). Сразу после того, как Вы делаете выстрел, снайпер по не известной Вам логике перебегает в соседний окоп (если Вы промазали). Остаться в том же окопе, равно как и перебежать дальше, чем в соседний окоп, он не может. Следующий выстрел. Перебежка. Выстрел. Перебежка. И так далее. Проблема в том, что ни снайпера, ни его перебежек Вы не видите.

Какое минимальное число выстрелов Вам понадобится, чтобы гарантированно ликвидировать снайпера?

Два равных прямоугольника (один с синими сторонами, а другой — с красными) ограничивают на плоскости некоторый восьмиугольник.

Найти максимум разности между суммой длин его красных сторон и суммой длин его синих сторон при условии, что диагонали прямоугольников равны 60.

На блюде лежат 30 конфет различных сортов. Можно выбрать несколько сортов и съесть одно и то же количество конфет каждого выбранного сорта. Какое максимальное число конфет Вам гарантированно удастся съесть? (Независимо от того, сколько конфет и каких сортов лежит на блюде.) 

Квадрат на плоскости разбит на 25 маленьких одинаковых квадратов, через все вершины которых проходит некоторая ломаная (возможно самопересекающаяся). Каково минимальное число её звеньев?

Грибник заблудился в лесу. Однако он уверен, что не дальше, чем в 3 км от него, находится прямое шоссе. Какое минимальное число км придётся преодолеть грибнику, чтобы наверняка (т.е. при полном отсутствии везения) выбраться на шоссе? Ответ округлите до ближайшего целого числа.