Среди нескольких компьютерных чипов есть два поддельных, которые обладают повышенной радиоактивностью, а в остальном не отличаются от настоящих. В имеющийся прибор можно засунуть любое количество чипов и узнать, есть ли среди них радиоактивный (но нельзя понять, сколько именно — один или два). Каково максимальное число чипов, среди которых можно гарантировать обнаружение обоих поддельных за 7 проверок?

В соревнованиях по десятиборью участвуют 1024 человека. Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы, причём силы разных спортсменов различны. Соревнования проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг, и т.д., пока в 10-м виде программы не будет определен победитель. Назовем спортсмена "заведомым аутсайдером", если при любом порядке видов спорта в программе он не может стать победителем. Каково минимально возможное число заведомых аутсайдеров?

Про некоторую рощу известно, что расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит утроенной разности их высот, а все деревья имеют высоту не более 100 м. Какова минимальная длина забора, которого заведомо хватит, чтобы обнести эту рощу? (Дайте ответ в метрах.)

Какова наибольшая возможная площадь ортогональной проекции на горизонтальную плоскость прямоугольного параллелепипеда со сторонами 10, 20 и 30 см? (Ответ дайте в квадратных сантиметрах.)

В тюрьму поместили 20 узников. Надзиратель сказал им:

«Я дам вам вечер поговорить друг с другом, а утром построю всех в колонну, надену каждому на голову красный, жёлтый или зелёный колпак, а потом спрошу каждого в указанном вами порядке, каков цвет надетого на него колпака. Сколько будет правильных ответов, стольких из вас я отпущу на свободу. Остальных скормлю крокодилам. Кого конкретно — решит жребий.

Каждый узник будет слышать все ответы, но сможет увидеть колпаки всех тех и только тех, кто стоит впереди в колонне. Отвечать нужно обязательно, причём только "красный", "жёлтый" или "зелёный", и сразу — пауза перед вопросом будет достаточной для размышлений. Таковы условия, если замечу жульничество — скормлю крокодилам всех!»

Какому максимальному числу счастливчиков узники смогут гарантировать освобождение?

В тюрьму поместили 6 узников.  Надзиратель сказал им:

«Я дам вам сегодня поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не сможете. Завтра я вас по очереди отведу в комнату, где стоят 6 закрытых ящиков, в которые я положу разные номера от 1 до 6 (в каждый ящик по номеру), и разрешу открыть 3 любые ящика в произвольном порядке. Каждый из вас должен открыть ящик с номером своей очереди, а какой именно номер лежит в ящике вы увидите, как только его откроете. Если каждому из вас удастся открыть ящик с нужным номером, то я всех выпущу на свободу. А если хоть кто-то потерпит неудачу — скормлю всех крокодилам. Не волнуйтесь, я великодушен — перед приходом следующего узника я буду просто закрывать все ящики и не буду ни переставлять их, ни перекладывать номера. Я даже могу всех вас сегодня отвести в эту комнату и разрешить пометить ящики! А номера в них я положу потом.»

Какова максимальная вероятность освобождения узников при их правильной стратегии?

На приёме каждый из 11 послов различных государств хочет поздороваться за руку с наибольшим числом коллег, но по правилам этикета все послы должны сделать по одинаковому числу рукопожатий. Сколько рукопожатий сможет сделать каждый посол, если послы государств Лилипутия и Блефуску не здороваются друг с другом?

Вам нужно узнать задуманное число от 1 до 2000. Можно задавать вопросы, на которые тот, кто задумал число, отвечает либо «да», либо «нет». Какое минимальное число вопросов нужно задать, чтобы достоверно определить задуманное число, если отвечающий может и солгать, но не более одного раза?

Из 220 спичек сложили квадрат 10×10, состоящий из 100 маленьких квадратиков 1×1. Фигуру из четырёх спичек, сходящихся в одной точке, будем называть крестиком. Какое наименьшее число спичек нужно убрать, чтобы не осталось ни одного крестика?

На сколько процентов максимально возможная площадь круга, лежащего внутри куба, больше площади круга, вписанного в его грань?