img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
Рисунок
Rss

Задачи: Математика   

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
Задачу решили: 22
всего попыток: 26
Задача опубликована: 14.11.22 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: user033 (Олег Сopoкин)

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, в каждую клетку которой вписано число натурального ряда, – по порядку, начиная с 1, следуя по спирали (см. рис.). Спираль для определенности будем считать закручивающейся по часовой стрелке. 

Последовательность на спирали

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре клетки с числом 1 и осями, параллельными сторонам клеток. Нарисуем ветвь параболы y=√x и рассмотрим на ней точки с целыми координатами. Каждая такая точка определяет клетку плоскости, а значит, и написанное в ней число. Например, точке параболы (0; 0) соответствует число 1, точке (1; 1) — число 9, а точке (4; 2) — число 51. Пусть an — число, соответствующее точке (n2;n) параболы; тогда  a0=1, a1=9, a2=51, a3=295, ... Найдите  23-й член последовательности (an).

Задачу решили: 19
всего попыток: 23
Задача опубликована: 16.11.22 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

В координатной плоскости Oxy задана парабола y=x2, на которой отмечены все ее точки с целыми координатами.

Хорды параболы

Проведены всевозможные хорды параболы, с концами в отмеченных точках.  Расположим хорды в порядке возрастания их длины, без повторений, и рассмотрим последовательность квадратов длин этих хорд. Начало последовательности выглядит так: 2, 4, 10, 16, 18, 20, 26, …. На рисунке изображена хорда AB, которой соответствует а12 = 42+82 = 80. Найдите 64-ый член последовательности.

Задачу решили: 25
всего попыток: 54
Задача опубликована: 14.01.23 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: геометрияimg
Лучшее решение: andervish (Андрей Вишневый)

В параллелограмм вписана елочка так, как показано на рисунке.

Елочка в параллелограмме

Площади трех частей параллелограмма равны 24, 25 и 26. Найдите площадь елочки.  

Задачу решили: 19
всего попыток: 25
Задача опубликована: 03.02.23 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Vkorsukov

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, в каждую клетку которой вписано число натурального ряда, – по порядку, начиная с 1, следуя по спирали (см. рис.). Спираль для определенности будем считать закручивающейся по часовой стрелке.

Круги на спирали

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре клетки с числом 1 и осями, параллельными сторонам клеток. Нарисуем в ней четыре параболы y=x3, y=–x3, x=y3 и x=–y3. Рассмотрим на параболах точки с целыми координатами. Каждая такая точка определяет клетку плоскости, а значит, и написанное в ней число. Например, точке параболы (0; 0) соответствует число 1, точке (1; 1) — число 9, а точке (2; 8) — число 283. Все такие числа выделены зеленым цветом. Сгруппируем выделенные числа так, чтобы все они (кроме центральной единицы) лежали на концентрических окружностях. На рисунке приведены первые две окружности.  Найдите среднее арифметическое чисел, расположенных на 10-ой окружности и укажите его в ответе.

Задачу решили: 19
всего попыток: 23
Задача опубликована: 10.03.23 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: user033 (Олег Сopoкин)

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, по линиям сетки которой нарисована спираль шириной в одну клетку, закручивающаяся по часовой стрелке (см рис.).

Кантование кубика

Имеется игральный кубик с числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (обозначены точками), в котором сумма очков на противоположных гранях равна 7. Размер грани кубика совпадает с размером клетки плоскости. В начальную клетку спирали поставлен игральный кубик так, что на его верхней грани расположена 1, на передней — 4, на правой — 5. Кубик, перекатываясь через ребро, попадает в следующую клетку по спирали, и так далее, двигаясь по клеткам нарисованной спирали. В каждую клетку спирали вписывается число, расположенное на верхней грани игрального кубика, прокатившегося по ней, и таким образом, задается последовательность: 1, 2, 3, 1, 4, 2, …, в которой a9=4. Найдите пятизначное число, у которого число единиц равно a1, число десятков - a10, число сотен – a100, число тысяч - a1000, число десятков тысяч - a10000.

Задачу решили: 16
всего попыток: 31
Задача опубликована: 14.04.23 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: TALMON (Тальмон Сильвер)

В координатной плоскости Oxy расположена парабола y=x2. На ось Оy «нанизаны» 13 квадратов так, что две вершины каждого квадрата, лежат на оси параболы, а две другие принадлежат параболе. При этом размеры квадратов подобраны так, что нижние вершины квадратов имеют ординаты 0, 1, 2, 3, … , 12. На сколько частей границы этих квадратов делят внутреннюю часть параболы y=x2.

Квадраты в параболе

Например, на рисунке показано, что три первых квадрата делят внутреннюю часть параболы y=x2 на 13 частей.

Задачу решили: 13
всего попыток: 23
Задача опубликована: 24.04.23 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: Lec

Кривая дракона – это рекурсивная ломаная, которая, начиная с единичного отрезка, за каждый шаг итерации удваивает свою длину, путем добавления к себе предыдущей части, повернутой на 90°. На рисунке приведена кривая дракона после шести итераций.

Кривая дракона в прямоугольнике

Эта ломаная помещается в наименьший прямоугольник размером 7х11 и площадью 77. Какова площадь наименьшего прямоугольника, в котором помещает кривая дракона после 13 итераций? Рассматриваются прямоугольники, стороны которых параллельны соответствующим звеньям кривой дракона.

Подробней смотрите статью в Википедии «Кривая дракона».

Задачу решили: 20
всего попыток: 27
Задача опубликована: 01.05.23 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: solomon

Сколько существует прямоугольных параллелепипедов с целочисленными измерениями, у которых числовые значения площади поверхности и объема равны?

Задачу решили: 11
всего попыток: 20
Задача опубликована: 05.05.23 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Кривая дракона, петляя по плоскости, иногда образовывает замкнутые клетки, равные единичным квадратам. На рисунке, кривая дракона после шести итераций ограничивает 11 таких клеток.

Кривая дракона в прямоугольнике

Сколько таких клеток ограничивает кривая дракона после 13 итераций?

(подробней о кривой дракона см. задачу 2485).

+ 2
  
Задачу решили: 18
всего попыток: 22
Задача опубликована: 26.06.23 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: makar243 (Сулейман Макаренко)

Куб 9х9х9, изображенный на рисунке справа, составлен из единичных кубиков. Эти кубики раскрашены в два цвета так, что некоторые из них образуются трехмерные кресты с общим центром (см. рис.).

Куб 29х29х29

Торцы крестов – это квадраты 1х1, 3х3, 5х5, …, которые составлены из квадратных рамок, чередующихся по цвету. Сколько синих кубиков в кубе 29х29х29, раскрашенного по такому же принципу?

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.