Числовому равенству 3³+4³+5³=6³ соответствует геометрическое равенство.

Это геометрическое равенство можно доказать разрезанием меньших кубов на части, из которых затем складывается большой куб 6х6х6. Из какого наименьшего числа частей может при этом состоять куб 6х6х6?

На ступенчатом квадрате построен замкнутый маршрут шахматного коня, состоящий из 14 прыжков.

Постройте здесь замкнутый маршрут, содержащий максимально возможное число прыжков коня. Дважды прыгать в одну клетку нельзя. Начинать можно с любой клетки. В ответе укажите число прыжков шахматного коня в этом маршруте.

Таблица Пифагора – это квадратная таблица, в каждой ячейке которой записано число, равное произведению номера строки и номера столбца. Побочная диагональ разбивает таблицу на две треугольные области. Найдите отношение суммы чисел, расположенных выше и левее побочной диагонали таблицы 100х100 к сумме чисел, расположенных ниже и правее побочной диагонали этой таблицы. Для примера, все числа побочной диагонали выделены зеленым цветом на таблице 9х9.

В кружки фигуры, изображенной на рисунке, расставлены натуральные числа от 1 до 49, и в каждом квадрате найдена сумма четырех чисел, расположенных в его вершинах, после чего квадраты с одинаковыми суммами закрашены одним цветом. 

В этой расстановке максимум одинаковых сумм равен числу зеленых клеток, то есть 7. Расставьте эти числа в другом порядке, просуммируйте четверки чисел и раскрасьте квадраты указанным образом. В ответе укажите наибольшее возможное число одноцветных квадратов.

Уточним, рассматриваются только квадраты равные закрашенным.

Куб 3х3х3 разбит на единичные кубики, все их вершины отмечены точками. Найдите число всех правильных треугольников, вершинами которых являются отмеченные точки. Три из них изображены на рисунке.

В квадратной таблице 360х360 строки и столбцы «пронумерованы» числами от 1° до 360°. В каждой ячейке этой таблицы записано число, равное произведению синуса «номера» строки на косинус «номера» столбца. Сколько рациональных чисел в этой таблице?

В квадратной таблице nxn проведена несамопересекающая ломаная, все звенья которой лежат на внутренних перегородках между клетками 1х1. Ломаная делит таблицу на две части, клетки одной части закращена черным. При этом оказалось, что в таблице число бело-белых соседних клеток равно числу бело-черных соседних клеток и равно числу черно-черных соседних клеток. Найдите длину ломаной, если известно, что её длина в 66 раз больше стороны n данной таблицы.

Например, в таблице 3х3 проведена ломаная АВС длиной 4. Здесь каждого типа соседних клеток по 4.

Две равные фигуры сложены из единичных кубиков, одна из белых кубиков, другая – из черных, причем, из этих двух фигур можно сложить куб n×n×n без пустот внутри. Оказалось, что в сложенном кубе число бело-белых соседних кубиков (т. е. имеющих общую грань) равно числу бело-черных соседних кубиков и равно числу черно-черных соседних кубиков. При каком n площадь поверхности одной из фигур в два раза больше площади поверхности куба.

Любитель комбинаторной геометрии каждый год рисует правильный треугольник, длина стороны которого равна номеру этого года, и прямыми параллельными сторонам треугольника делит его на правильные треугольники со стороной 1.  В полученной таким образом треугольной сетке он закрашивает несколько треугольных ячеек так, чтобы они не пересекались, и при этом старается закрасить все узлы треугольной сетки. В 2022 году любителю не удалось это сделать. В каком ближайшем году он сможет закрасить сетку нужным образом?

На рисунке приведен пример неудачной раскраски сетки, так как остались три незакрашенных узла.

Равносторонний треугольник имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны треугольника разделены точками на единичные отрезки. В этот треугольник вписаны n-1 равносторонних треугольников, все вершины которых находятся в точках деления. При этом исходный треугольник оказался разделен на части. Для каких простых чисел n начиная с 2 и не превосходящих 1000, число полученных частей в треугольнике является квадратным?

В ответе укажите сумму всех таких n.

На рисунке приведен равносторонний треугольник со стороной 6, в который вписаны 5 меньших равносторонних треугольников.