Гипотрохоида — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой, находящейся на фиксированной радиальной прямой окружности, катящейся по внутренней стороне неподвижной окружности. Гипотрохоида задается тремя параметрами: R — радиус неподвижной окружности, r — радиус вращающейся окружности, d — расстояние от фиксированной точки до центра вращающейся окружности. На рисунке приведена гипотрохоида с параметрами R=11, r=7, d=11, которая делит плоскость на 35 частей.

На сколько частей разделит плоскость гипотрохоида с параметрами R = p₁₀₁, r = p₁₀₀, d = p₁₀₁, где p₁₀₀ и p₁₀₁ — простые числа с номерами 100 и 101?

Сколько действительных корней имеет уравнение 100 cosx =√x?

В области, ограниченной параболой y = 8 − x² и осью Ox, находится 25 целочисленных точек (см. рис.).

При каком натуральном значении k количество точек с целочисленными координатами, находящимся внутри области, ограниченной параболой y = k − x² и осью Ox равно 2024.

На рисунке изображена красная «змейка», представляющая собой бесконечную ломаную, соседние звенья которой перпендикулярны, длины её звеньев – натуральные числа 1, 2, 3, …

Докажите, что все вершины ломаной лежат на параболе. Ломаная делит внутреннюю область параболы на криволинейные треугольники, площади которых соответственно равны S₁, S₂, S₃, …

Найдите площадь S₁₀₀ сотого криволинейного треугольника и укажите ее в ответе.

Учительница написала на доске трехзначное число АНА, и каждому ученику раздала по карточке, с двумя разными цифрами n и m, все четыре натуральных числа A, H, m и n - различны. Девочек она попросила найти значения выражения Aⁿ + H^m + Aⁿ, а мальчиков попросила найти значение выражения A^m + Hⁿ + A^m. Выполнив задание, ученики удивились, потому что и у девочек, и у мальчиков получилось одно и тоже число. Какое наибольшее число АНА учительница могла написать на доске? 

Светлая память Анне Николаевне Андреевой, учителю математики  и нашей коллеге на Диофанте.ру с ником xyz, позже AnnaAndreeva.

Натуральный ряд «удвоили», то есть каждое число записали дважды. Затем полученный ряд разбили на множества: M₁, M₂, M₃, …, так, что множество M_n содержит n чисел. Ниже вертикальными черточками показано разбиение начала «удвоенного» натурального ряда на множества: 1,|1, 2,|2, 3, 3,|4, 4, 5, 5,|6, 6, 7, 7, 8,|8, 9, 9, 10, 10, 11,|11, 12, 12, 13, 13, Найдите сумму чисел в множестве M₂₀₂₄, укажите ее в ответе.

На шестиугольной сетке ячейки закрашены следующим: красится одна ячейка и все, расположенные вдоль трех прямых, проходящих через центр начальной ячейки и образующих между собой шесть «углов» величиной 60°. В каждом из этих «углов» красятся ячейки, образующие новые «углы» величиной 60° так, что между ними образуются «углы» из незакрашенных ячеек, и так далее до бесконечности.

Закрашенные ячейки в «правильных шестиугольниках» с центром в начальной образуют «снежинки». Число ячеек в этих «снежинках» задают последовательность  1, 7, 13, 19, 31, 49, 67, … Найдите номер «снежинки», которая содержит 15151 ячейку.

Вершины четырехугольника ABCD лежат на параболе y = x², диагонали AC и BD перпендикулярны. Известны абсциссы трех его вершин: x_A = 23, x_B = –24, x_C = – 25.

Найдите абсциссу вершины D этого четырехугольника.

В координатной плоскости построены парабола y = x² - 5x + 10 и окружность, пересекающая параболу в четырех точках A, B, C и D.

Известны абсциссы трех точек: x_A = 23, x_B = –24, x_C = – 25. Найдите абсциссу четвертой точки D.