Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй – 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

В окружности с центром O построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки B, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды AB и BC, проходящие через вершины K и F шестиугольника соответственно.

Найти отношение площади шестиугольника KOFPDL к площади четырехугольника ABCD.

Показывая текущее время в часах и минутах, цифры на табло электронных часов могут располагаться строго по возрастанию, например, 0:45 или строго по убыванию, например, 8:30. Посчитайте в течение суток число различных показаний в обоих случаях. В ответе запишите отношение меньшего числа к большему.

n-ый член последовательности 1, 6, 8, 20, 21, 40, 40, 66, 65, 98, 96, … — это число бесконечной таблицы Пифагора, которого достигает шахматный конь, сделавший n ходов, двигаясь по бесконечной ломаной линии, начиная с числа 1. Маршрут шахматного коня представляет собой бесконечную зигзагообразную ломаную линию, начало которой изображено на рисунке для таблицы 13х13.

Все звенья ломаной имеют одинаковую длину и равны длине прыжка шахматного коня. Соседние звенья ломаной перпендикулярны, попеременно меняют направление влево, вправо, влево, вправо, ...

Пусть a₀=1, a₁=6, a₂=8. Найдите a₁₁₁.

Назовем зеркальным числом такое трехзначное число в сумме с трехзначным числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. Найти сумму всех зеркальных числел..

Ёлочка украшена четырьмя горизонтальными гирляндами и пятью гирляндами, спускающимися с вершины вниз. Во всех гирляндах по пять шариков.

Впишите в шарики все целые числа от 1 до 21 (в каждый шарик по одному числу) так, чтобы сумма пяти чисел в каждой из девяти гирлянд была одной и той же. В ответе укажите сумму чисел в одной из гирлянд.

Ёлочка украшена тремя горизонтальными гирляндами и четырьмя гирляндами, спускающимися с вершины вниз.

Во всех гирляндах по четыре шарика. Впишите в шарики все целые числа от 1 до 13 (в каждый шарик по одному числу) так, чтобы сумма четырёх чисел в каждой из семи гирлянд была одной и той же. В ответе укажите сумму чисел в одной из гирлянд.

В параллелограмм вписана елочка так, как показано на рисунке.

Площади трех частей параллелограмма равны 24, 25 и 26. Найдите площадь елочки.  

Гипотрохоида — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой, находящейся на фиксированной радиальной прямой окружности, катящейся по внутренней стороне неподвижной окружности. Гипотрохоида задается тремя параметрами: R — радиус неподвижной окружности, r — радиус вращающейся окружности, d — расстояние от фиксированной точки до центра вращающейся окружности. На рисунке приведена гипотрохоида с параметрами R=11, r=7, d=11, которая делит плоскость на 35 частей.

На сколько частей разделит плоскость гипотрохоида с параметрами R = p₁₀₁, r = p₁₀₀, d = p₁₀₁, где p₁₀₀ и p₁₀₁ — простые числа с номерами 100 и 101?

Натуральное число назовем представимым, если его можно представить в виде такой суммы a+b+ab, где a и b натуральные числа. Например, число 101 представимое, потому что 101 = 5 + 16 + 5 · 16. Сколько представимых чисел среди трехзначных?