Маршрут автобуса состоит из 12 остановок (включая конечные). Автобус вмещает не более 20 пассажиров. Однажды автобус проехал весь маршрут из конца в конец, останавливаясь на всех остановках. Известно, что не было двух пассажиров, которые вошли, а потом и вышли на одной и той же остановке. Какое наибольшее число пассажиров могло быть перевезено автобусом при этих условиях?

В треугольнике АВС из вершины А проведены две прямые, пересекающие основание ВС. При этом диаметры вписанных окружностей трёх образовавшихся треугольников равны между собой. Найти отношение  высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС, к диаметру этих окружностей, если величина угла В — 70°, а С — 80°. Ответ округлите до ближайшего целого числа.

Чевианой называют отрезок соединяющий вершину треугольника с его противоположной стороной или её продолжением. Нас будут интересовать чевианы, которые делят треугольник на два треугольника с равными вписанными окружностями. Найдите площадь треугольника, в котором длины таких чевиан равны: 996, 1490, 2685. Результат округлите до ближайшего целого числа.

В оранжерее на космической станции в виде прямоугольника 23×31 расставлены горшки с цветами. На каждом цветке сидит по одной бабочке. Хлопнула дверь, и каждая из 713 бабочек перелетела по диагонали через один цветок. После этого на некоторых цветах оказалось по несколько бабочек, а на некоторых — ни одной. Найдите наименьшее возможное число цветов, на которых не сидит ни одной бабочки.

В шахматной композиции (задачах) есть раздел  сказочных шахмат. В этих задачах изменены или дополнены некоторые шахматные правила (фигуры, форма шахматной доски и т.п.). Рассмотрим сказочные шахматы, в которых короли могут находиться под боем (шахом), а значит возможно и взятие королей. Остальные шахматные правила оставляем в силе. Целью такой игры может быть, например, взятие всех неприятельских фигур (как в шашках). Среди всех возможных позиций,  полученных из начальной шахматной позиции играя по этим правилам, присутствуют и позиции только с двумя фигурами — белым королём и чёрным слоном, в которых белые начинают и выигрывают в один ход. Вычислите вероятность возникновения такой позиции при случайной расстановке белого короля и чёрного слона на пустую шахматную доску.

На окружности отмечены четыре точки A, B, C и D так, что хорды AC и BD перпендикулярны друг другу, а AB=4 и CD=13. Сколько различных целочисленных значений может принимать площадь четырёхугольника ABCD с такими условиями?

Вася старается раскрасить клетки квадрата 5х5 так, чтобы в любом его квадрате 3х3 было ровно 4 закрашенных клетки. После успешной раскраски он считает сколько клеток осталось не закрашенными. Сколько различных значений может получить Вася? В качестве ответа введите сумму полученных значений.

Внутреннюю точку выпуклого четырёхугольника соединили с серединами всех его сторон. Четырёхугольник разделился на четыре четырёхугольника.  Два из них имеют площади 311 и 183. Какую минимальную целочисленную площадь мог иметь исходный четырёхугольник?

Дано, выпуклый четырёхугольник ABCD имеет целочисленную площадь, а длины его сторон AB, BC, CD, DA равны 11, 5, 10, 14, соответственно. Сколько различных значений может принимать площадь таких четырёхугольников?

Две окружности разных радиусов, расположены так, что центр меньшей находится на большей окружности, как на рисунке.

Известно, что длина отрезка BD равна длине BC. Точка A - центр большей окружности. Найти длину отрезка AD, если радиусы окружностей равны 5 и 3.