В квадрате ABCD помечены середины всех 4-х его сторон. Какое минимальное количество линий нужно провести с помощью линейки без делений, чтобы разделить квадрат на 5 равновеликих частей?

В каждой из 18-и строк следующей таблицы задана длина стороны равностороннего треугольника - d, и расстояния от некоторой точки на этой же плоскости до трёх вершин треугольника: a, b и c.

По этим данным нужно определить для каждой строки, находится ли точка внутри треугольника.

Ответ должен состоять из 18-и нулей и единиц: Каждой строке соответствует "1", если точка находится внутри треугольника, и "0" в противном случае.

Найдите количество решений в целых числах уравнения:
x/(y + z) + y/(z + x) + z/(x + y) = 4
в пределах: 0 ≤ x + y + z ≤ 6000.

Симметричные решения, получаемые одно из другого перестановкой переменных, считать различными.

На плоскости в узлах правильной треугольной решетки расположены точки так, что их множество образует правильный шестиугольник. На стороне этого шестиугольника 10 точек (рис. для 4 точек).

Сколько попарно неконгруэнтных правильных шестиугольников определяют эти точки?

Вова играл против компьютера в NIM. В какой-то момент он понял принцип работы компьютера! В частности, он понял, что следующая позиция – проигрышная:

Позиция П:
Первая куча – 1 спичка
Вторая куча – 3 спички.
Третья куча – 5 спичек.
Четвёртая куча – 7 спичек.

И тут, заметив, что компьютер играет как-то однобоко – делает выигрывающий ход именно с первой же кучей, с которой это возможно (номера куч остаются всё время неизменными), придумал себе забаву.

Один ход человека заключался в нажатии мышью на те спички, которые он удаляет. Например, если он хочет удалить 4 спички из какой-то кучи, то он поочерёдно нажимает на 4 спички в этой куче.

Так вот, Вова, зная, что, получив позицию П он проиграет, хочет минимизировать количество своих нажатий с этой позиции до конца игры. Чему равен этот минимум?

Его товарищ Вася, будучи в курсе всех этих дел, придумал себе противоположную забаву: как из той же позиции П максимизировать общее количество своих нажатий до конца игры.

Чему равен этот максимум?

Введите в ответе произведение этих двух чисел – минимум Вовы и максимум Васи.

На столе расположены 2022 кучи спичек. Кучи пронумерованы: 1, 2, 3,... , 2022. В каждой k-й куче по k спичек.

Играют двое поочерёдно. Каждый игрок своим ходом убирает со стола любое натуральное количество спичек из одной (любой) кучи. Выигрывает игрок, убравший последнюю спичку со стола.

Сколько вариантов выигрывающего первого хода есть у начинающего?

На столе расположена 2021 куча спичек. Кучи пронумерованы: 1, 2, 3,... , 2021. В каждой k-й куче по k спичек.

Играют двое поочерёдно. Каждый игрок своим ходом убирает со стола любое натуральное количество спичек из одной (любой) кучи. Выигрывает игрок, убравший последнюю спичку со стола.

Сколько вариантов выигрывающего первого хода есть у начинающего?

Если стороны треугольника равны a, b, c, и радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и R, то выражение:
((a+b+c)/2)² - 3r² - 12Rr, можно представить как многочлен от трёх переменных a, b, c.

Обозначим:
B - произведение коэффициентов этого многочлена.
A - сумма абсолютных величин этих же коэффициентов.
Найдите A+B.

Сколько целых значений может иметь длина биссектрисы AD треугольника ABC, если |AB|=45 и |AC|=29 ?

В день своего 18-летия Таня нарисовала выпуклый 18-угольник, каждый угол которого кратен 18 градусам.
Какими могут быть углы Таниного многоугольника (порядок углов не важен)? Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет. В ответе укажите количество вариантов.