Сколько существует квадратов, вершины которых находятся на узлах точечной сетки 100x2021?

На рисунке изображён пример квадрата в точечной сетке 5x8.

Рассмотрим систему двух неравенств с целочисленными коэффициентами:

Ax² + Bx + C ≤ 0
Dx² + Ex + F ≤ 0

Найдите минимально возможную сумму |A| + |B| + |C| + |D| + |E| + |F|, при которой эта системы имеет действительные решения, но не имеет рационального решения?

Рассмотрим следующие 6 свободных полиомино:

Свободное, или двустороннее полиомино – сколько бы его ни сдвигать, поворачивать и переворачивать, считается, что оно одно и тот же. В дальнейшем говорится только о таких.

Определение. Если полиомино B можно построить путём добавления какого-то количества квадратиков (0 или больше) к полиомино A, то будем говорить, что A является подполиомино B. Нужно построить таблицу из 6x6=36 символов – НУЛЕЙ и ЕДИНИЦ – таким образом:
В x-м символе y-й строки нужно записать ЕДИНИЦУ, если существует подполиомино y-го полиомино, которое также является подполиомино x-го полиомино, но не является подполиомино ни одного из остальных полиомино.
В противном случае нужно записать в этой позиции НОЛЬ.

Введите в ответ все эти символы подряд, строку за строкой. Нумерация строк идёт сверху вниз, а символов в строке – слева направо. Номера полиомино показаны на их изображениях.

На шахматной доске n на n расставлены n² ферзей n различных цветов, по n ферзей каждого цвета. Каждый ферзь стоит на отдельной клетке, и ни один ферзь не стоит ни на той же горизонтали, ни на той же вертикали, ни на той же диагонали (большой или маленькой) что другой ферзь того же цвета. На рисунке показан пример такой расстановки ферзей для n=5:

Найдите 4 наименьших натуральных числа n, для которых это возможно. Укажите в ответе их сумму.

Обозначим:
S₁ = (1 ∧ 1000) + (2 ∧ 999) + (3 ∧ 998) + . . . + (1000 ∧ 1),
где a ∧ b означает логическое умножение a и b. Оба операнда представляются в двоичной системе счисления и рассматриваются справа налево. Каждый двоичный разряд результата операции равен единице, если соответствующие разряды обоих операндов равны единице, и нулю в противном случае.

Например:
11 ∧ 6 = 1011₂ ∧ 110₂ = 10₂ = 2.

Также обозначим:
S₂ = (1 ∨ 1000) + (2 ∨ 999) + (3 ∨ 998) + . . . + (1000 ∨ 1),
где a ∨ b означает логическое сложение a и b. Оба операнда представляются в двоичной системе счисления и рассматриваются справа налево. Каждый двоичный разряд результата операции равен единице, если соответствующий разряд хотя бы одного из операндов равен единице, и нулю в противном случае.

Например:
9 ∨ 3 = 1001₂ ∨ 11₂ = 1011₂ = 11.

Найдите сумму S₁ + S₂.

Из бумаги склеили правильный тетраэдр. Затем на его поверхности последовательно сделали n разрезов в форме отрезков прямых, в результате чего она распалась на m частей, которыми удалось оклеить без просветов и наложений 3 одинаковых правильных тетраэдра, не имеющих общих точек. Найдите минимально возможное значение 100m + n.

Замечание: разрезания разрешено чередовать с развёртыванием исходного тетраэдра.

На плоскости в узлах правильной треугольной решетки расположены точки так, что их множество образует правильный шестиугольник. На стороне этого шестиугольника 10 точек (рис. для 4 точек).

Сколько попарно неконгруэнтных правильных шестиугольников определяют эти точки?

Квадрат имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны квадрата разделены точками на единичные отрезки. В этот квадрат вписаны n-1 квадратов, все вершины которых находятся в точках деления. При этом исходный квадрат оказался разделен на части. Найдите соотношение плошади полученной в центре части к площади исходного квадрата, когда n стремится к бесконечности. В ответе укажите целую часть этого соотношения, умноженного на 10000.

На рисунке приведен квадрат со стороной 40, в который вписаны 39 меньших квадратов.

Правильный пятиугольник имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны пятиугольника разделены точками на единичные отрезки. В этот пятиугольник вписаны n-1 правильных пятиугольников, все вершины которых находятся в точках деления.
При этом исходный пятиугольник оказался разделен на части.

На рисунке приведен правильный пятиугольник со стороной 7, в который вписаны 6 меньших правильных пятиугольников.

Найдите количество таких n (1<n<200), для которых количество полученных частей НЕ равно 5*(n-1)²+1.

Множество A={a,b,c} содержит 3 элемента. Его запись занимает 7 символов.

Множество B это множество всех подмножеств множества A. Его запись: {{},{a},{b},{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} занимает 42 символа.

Множество C это множество всех подмножеств множества B. Сколько символов занимает запись множества C?