"Докажем", что все лошади одного цвета. Укажите номер первого ошибочного пункта в следующем изложении:

Докажем по индукции, что для любого натурального числа n выполняется следующее утверждение:

Любая группа из n лошадей состоит из лошадей одного цвета.

1. Для n=1 утверждение верно. Действительно, любая группа из ОДНОЙ лошади состоит из лошадей одного цвета.

Покажем, что из выполнимости утверждения для какого-то n следует его выполнимость для n+1.

2. Пусть утверждение верно для какого-то n. Рассмотрим любую группу из n+1 лошадей.

3. Удалим из этой группы одну лошадь. Согласно предположению индукции, все оставшиеся n лошадей одного цвета.

4. Вернём удалённую лошадь, а вместо неё удалим другую лошадь.

5. Опять все оставшиеся n лошадей одного цвета.

6. Следовательно, все n+1 лошадь одного цвета.

7. Теорема доказана! 

На ступенчатой клеточной доске показан замкнутый маршрут козлотура, состоящий из 6-и прыжков:

Найдите замкнутый маршрут козлотура на этой же доске, содержащий максимально возможное число прыжков. Дважды прыгать в одну клетку нельзя. В ответе укажите число прыжков козлотура в этом маршруте.

Рассмотрим уравнение в целых числах:
x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = x+y+z.
Найдите первые три наименьшие различные неотрицательные значения суммы s=x+y+z. Введите в ответе сумму этих трёх значений s.

Обозначим:
S₁ = (1 ∧ 1000) + (2 ∧ 999) + (3 ∧ 998) + . . . + (1000 ∧ 1),
где a ∧ b означает логическое умножение a и b. Оба операнда представляются в двоичной системе счисления и рассматриваются справа налево. Каждый двоичный разряд результата операции равен единице, если соответствующие разряды обоих операндов равны единице, и нулю в противном случае.

Например:
11 ∧ 6 = 1011₂ ∧ 110₂ = 10₂ = 2.

Также обозначим:
S₂ = (1 ∨ 1000) + (2 ∨ 999) + (3 ∨ 998) + . . . + (1000 ∨ 1),
где a ∨ b означает логическое сложение a и b. Оба операнда представляются в двоичной системе счисления и рассматриваются справа налево. Каждый двоичный разряд результата операции равен единице, если соответствующий разряд хотя бы одного из операндов равен единице, и нулю в противном случае.

Например:
9 ∨ 3 = 1001₂ ∨ 11₂ = 1011₂ = 11.

Найдите сумму S₁ + S₂.

Рассмотрим множество чисел M = {1, 2, 3, ..., 2¹⁴ - 1}. Определим на этом множестве операцию «циклического сложения»:
x⊕y = [(x+y) / 2¹⁴] + (x+y) mod 2¹⁴
(целая часть от деления x+y на 2¹⁴ + остаток от деления x+y на 2¹⁴).

Например:
123 ⊕ 456 = [(123+456) / 2¹⁴] + (123+456) mod 2¹⁴  = 0 + 579 = 579

16380 ⊕ 7 = [(16380+7) / 2¹⁴] + (16380+7) mod 2¹⁴  = 1 + 3 = 4

Докажите, что эта операция определяет группу на множестве M и найдите её нейтральный элемент? Введите его в двоичной системе счисления.

На плоскости в узлах правильной треугольной решетки расположены точки так, что их множество образует правильный шестиугольник. На стороне этого шестиугольника 10 точек (рис. для 4 точек).

Сколько попарно неконгруэнтных правильных шестиугольников определяют эти точки?

Найдите максимальную сумму a+b+c+d+e+f+g среди всех семёрок целых чисел {a, b, c, d, e, f, g}, для которых выполняется:

0 < a < b < c < d < e < f < g

и

1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f + 1/g = 1/7.

Множество A={a,b,c} содержит 3 элемента. Его запись занимает 7 символов.

Множество B это множество всех подмножеств множества A. Его запись: {{},{a},{b},{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} занимает 42 символа.

Множество C это множество всех подмножеств множества B. Сколько символов занимает запись множества C?

В четыре стакана налито 2 мл, 5 мл, 15 мл, 11 мл воды.

Разрешена такая операция: удвоение количества воды в стакане путём переливания из другого стакана (содержащего достаточное для этого количество воды).

За какое минимальное количество операций можно опустошить два стакана?

[Решения проверяются в ручном режиме. Укажите в решении, какие конкретные переливания предлагаете. Доказательство минимальности не обязательно.]

Найдите количество частей, на которые разбивается пятимерное вещественное пространство гиперплоскостями

x₁=0, x₂=0, x₃=0, x₄=0, x₅=0,
x₁=1, x₂=1, x₃=1, x₄=1, x₅=1,
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1,
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2.