Рассмотрим систему двух неравенств с целочисленными коэффициентами:

Ax² + Bx + C ≤ 0
Dx² + Ex + F ≤ 0

Найдите минимально возможную сумму |A| + |B| + |C| + |D| + |E| + |F|, при которой эта системы имеет действительные решения, но не имеет рационального решения?

"Докажем", что все лошади одного цвета. Укажите номер первого ошибочного пункта в следующем изложении:

Докажем по индукции, что для любого натурального числа n выполняется следующее утверждение:

Любая группа из n лошадей состоит из лошадей одного цвета.

1. Для n=1 утверждение верно. Действительно, любая группа из ОДНОЙ лошади состоит из лошадей одного цвета.

Покажем, что из выполнимости утверждения для какого-то n следует его выполнимость для n+1.

2. Пусть утверждение верно для какого-то n. Рассмотрим любую группу из n+1 лошадей.

3. Удалим из этой группы одну лошадь. Согласно предположению индукции, все оставшиеся n лошадей одного цвета.

4. Вернём удалённую лошадь, а вместо неё удалим другую лошадь.

5. Опять все оставшиеся n лошадей одного цвета.

6. Следовательно, все n+1 лошадь одного цвета.

7. Теорема доказана! 

На ступенчатой клеточной доске показан замкнутый маршрут козлотура, состоящий из 6-и прыжков:

Найдите замкнутый маршрут козлотура на этой же доске, содержащий максимально возможное число прыжков. Дважды прыгать в одну клетку нельзя. В ответе укажите число прыжков козлотура в этом маршруте.

Рассмотрим уравнение в целых числах:
x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = x+y+z.
Найдите первые три наименьшие различные неотрицательные значения суммы s=x+y+z. Введите в ответе сумму этих трёх значений s.

Рассмотрим множество чисел M = {1, 2, 3, ..., 2¹⁴ - 1}. Определим на этом множестве операцию «циклического сложения»:
x⊕y = [(x+y) / 2¹⁴] + (x+y) mod 2¹⁴
(целая часть от деления x+y на 2¹⁴ + остаток от деления x+y на 2¹⁴).

Например:
123 ⊕ 456 = [(123+456) / 2¹⁴] + (123+456) mod 2¹⁴  = 0 + 579 = 579

16380 ⊕ 7 = [(16380+7) / 2¹⁴] + (16380+7) mod 2¹⁴  = 1 + 3 = 4

Докажите, что эта операция определяет группу на множестве M и найдите её нейтральный элемент? Введите его в двоичной системе счисления.

«Докажем», что любое число ε>0 оно не меньше 1. Естественно, это «доказательство» содержит ошибку. Найдите в каком утверждении ошибка.

Пусть ε - любое положительное число.

1. Как известно, множество рациональных чисел в отрезке [0, 1] счётно и всюду плотно.

2. Пронумеруем его элементы: r₁, r₂, r₃, ...

3. Построим вокруг них окрестности: m_n = (r_n – ε/2ⁿ⁺¹, r_n + ε/2ⁿ⁺¹), n=1, 2, 3, ...

4. Рассмотрим множество U – объединение всех этих окрестностей. Его мера m(U) меньше или равна сумме мер составляющих: Σm(m_n) = ε.

5. Множество U, как объединение открытых множеств, также является открытым множеством.

6. Как открытое множество на числовой прямой, множество U может быть представимо как объединение конечного или счётного множества взаимно непересекающихся интервалов u₁, u₂, u₃, ...

7. Рассмотрим какие-нибудь два соседних из этих интервалов (т.е. любой один из них + ближайший к нему с той или другой стороны). Они либо лежат вплотную друг к другу, т.е. имеют общий конец, либо между ними есть зазор.

8. Если между ними есть зазор, это означает, что первоначально не были охвачены все рациональные числа. Следовательно, остаётся только вариант общего конца.

9. Таким образом, множество U покрывает весь отрезок [0, 1] кроме не больше чем счётное множество общих концов, имеющее меру 0.

10. Следовательно, мера множества U не меньше 1, и ε ≥ 1.

Найдите максимальную сумму a+b+c+d+e+f+g среди всех семёрок целых чисел {a, b, c, d, e, f, g}, для которых выполняется:

0 < a < b < c < d < e < f < g

и

1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f + 1/g = 1/7.

Квадрат имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны квадрата разделены точками на единичные отрезки. В этот квадрат вписаны n-1 квадратов, все вершины которых находятся в точках деления. При этом исходный квадрат оказался разделен на части. Найдите соотношение плошади полученной в центре части к площади исходного квадрата, когда n стремится к бесконечности. В ответе укажите целую часть этого соотношения, умноженного на 10000.

На рисунке приведен квадрат со стороной 40, в который вписаны 39 меньших квадратов.

Правильный пятиугольник имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны пятиугольника разделены точками на единичные отрезки. В этот пятиугольник вписаны n-1 правильных пятиугольников, все вершины которых находятся в точках деления.
При этом исходный пятиугольник оказался разделен на части.

На рисунке приведен правильный пятиугольник со стороной 7, в который вписаны 6 меньших правильных пятиугольников.

Найдите количество таких n (1<n<200), для которых количество полученных частей НЕ равно 5*(n-1)²+1.

При каком максимальном целом k ряд 1^k/7 + 2^k/7 + 3^k/7 + . . . сходится?