Обозначим:
S₁ = (1 ∧ 1000) + (2 ∧ 999) + (3 ∧ 998) + . . . + (1000 ∧ 1),
где a ∧ b означает логическое умножение a и b. Оба операнда представляются в двоичной системе счисления и рассматриваются справа налево. Каждый двоичный разряд результата операции равен единице, если соответствующие разряды обоих операндов равны единице, и нулю в противном случае.

Например:
11 ∧ 6 = 1011₂ ∧ 110₂ = 10₂ = 2.

Также обозначим:
S₂ = (1 ∨ 1000) + (2 ∨ 999) + (3 ∨ 998) + . . . + (1000 ∨ 1),
где a ∨ b означает логическое сложение a и b. Оба операнда представляются в двоичной системе счисления и рассматриваются справа налево. Каждый двоичный разряд результата операции равен единице, если соответствующий разряд хотя бы одного из операндов равен единице, и нулю в противном случае.

Например:
9 ∨ 3 = 1001₂ ∨ 11₂ = 1011₂ = 11.

Найдите сумму S₁ + S₂.

7 первых натуральных чисел, кратных 7-и, расположили в каком-то произвольном порядке в одну строку без пробелов, например так: 7142128354249.

Соединив первую и последнюю цифры, получили замкнутую цепочку из 13-и цифр (смотрите рисунок).

Затем разъединили какие-то две соседние цифры и снова натянули цепочку в одну строку. Получилось 13-значное число. На рисунке это число: 2835424971421.

Какое наименьшее возможное число?

Замечание: Наши цифры как игрушка «Ванька-встань-ка» - сколько бы их ни поворачивать, они всегда смотрят на нас вертикально.

Найдите наименьшее простое число p, представимое как:
p = x⁴ + y⁴, где x и y - целые числа, и сумма их квадратов x²+y² равна квадрату целого числа. Введите в ответ число 6p.

Работник договорился, что за 1 год работы на ферме ему заплатят 80000 рублей + корова. По независимым от него обстоятельствам, он был вынужден уйти после 7 месяцев работы, и ему заплатили: 30000 рублей + корова. Всё честно. Сколько рублей стоит корова?

В слове levvol заменили одинаковые буквы на одинаковые цифры, а различные буквы – на различные цифры. Какое наименьшее 6-значное число levvol можно представить как произведение простого и составного числа ровно двумя способами?

Порядок множителей неважен: x*y и y*x это один и тот же способ.

Задача посвящена памяти нашего ушедшего коллеги, можно сказать неординарного, Льва Волкова.

Вова играл против компьютера в NIM. В какой-то момент он понял принцип работы компьютера! В частности, он понял, что следующая позиция – проигрышная:

Позиция П:
Первая куча – 1 спичка
Вторая куча – 3 спички.
Третья куча – 5 спичек.
Четвёртая куча – 7 спичек.

И тут, заметив, что компьютер играет как-то однобоко – делает выигрывающий ход именно с первой же кучей, с которой это возможно (номера куч остаются всё время неизменными), придумал себе забаву.

Один ход человека заключался в нажатии мышью на те спички, которые он удаляет. Например, если он хочет удалить 4 спички из какой-то кучи, то он поочерёдно нажимает на 4 спички в этой куче.

Так вот, Вова, зная, что, получив позицию П он проиграет, хочет минимизировать количество своих нажатий с этой позиции до конца игры. Чему равен этот минимум?

Его товарищ Вася, будучи в курсе всех этих дел, придумал себе противоположную забаву: как из той же позиции П максимизировать общее количество своих нажатий до конца игры.

Чему равен этот максимум?

Введите в ответе произведение этих двух чисел – минимум Вовы и максимум Васи.

На столе расположены 2022 кучи спичек. Кучи пронумерованы: 1, 2, 3,... , 2022. В каждой k-й куче по k спичек.

Играют двое поочерёдно. Каждый игрок своим ходом убирает со стола любое натуральное количество спичек из одной (любой) кучи. Выигрывает игрок, убравший последнюю спичку со стола.

Сколько вариантов выигрывающего первого хода есть у начинающего?

На столе расположена 2021 куча спичек. Кучи пронумерованы: 1, 2, 3,... , 2021. В каждой k-й куче по k спичек.

Играют двое поочерёдно. Каждый игрок своим ходом убирает со стола любое натуральное количество спичек из одной (любой) кучи. Выигрывает игрок, убравший последнюю спичку со стола.

Сколько вариантов выигрывающего первого хода есть у начинающего?

Найдите количество натуральных чисел n, удовлетворяющих следующим условиям:
1. n не имеет простых делителей, отличных от 3, 7, 13.
2. Существует ровно 22 решения в целых числах уравнения:
1/x + 1/y = 1/n (0 < x < y).

Множество A={a,b,c} содержит 3 элемента. Его запись занимает 7 символов.

Множество B это множество всех подмножеств множества A. Его запись: {{},{a},{b},{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} занимает 42 символа.

Множество C это множество всех подмножеств множества B. Сколько символов занимает запись множества C?