В треугольник вписана окружность радиуса 12. Чему равен минимальный радиус описанной окружности?

Есть весы, показывающие точный вес, и 6 одинаковых на вид монет, одна из которых фальшивая: её вес отличается от веса настоящей монеты (веса настоящих монет одинаковы). За какое наименьшее число взвешиваний можно наверняка определить вес настоящей монеты и вес фальшивой?

Команда IF A=B HANG 1 на языке программирования MUMPS означает: "если A=B, то выполнить задержку программы на 1 секунду". В языке MUMPS почти нет понятия ТИПА ДАННЫХ (текстовые, целые числа, плавающая точка, короткие, длинные, логические и т.п.). Можно смело смешивать все данные, и всё будет выполняться по какой-то "естественной" логике каждой конкретной операции. Например, выражение 123 можно одновременно рассматривать и как число, и как строку. Кроме того, почти каждую команду можно писать не полностью, а только её начальные буквы. Например, вместо команды HANG можно писать HAN, или HA или только одну букву H. Длина написанной выше команды — 13 символов. Напишите эту же команду прописными латинскими буквами в кратчайшем виде.

Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми — целое число. На одной прямой находится точка A, а на другой — точки B, C, D, E (именно в таком порядке). Расстояние между любыми двумя из этих пяти точек — натуральное число, BC=4. Найдите наименьшее расстояние между A и E.

Три окружности, радиусы которых равны 418, 2090 и 3135, касаются друг друга в трёх различных точках. Радиус четвёртой окружности, касающейся всех первых трёх окружностей, равен R. Чему равна сумма всевозможных значений R?

Для изготовления цилиндрических труб диаметра 10 см используются прямоугольные заготовки шириной примерно 31.41592657 см. Но нужно изготовить две трубы, чтобы затем соединить их перпендикулярно. Поэтому одну сторону каждой из двух заготовок–прямоугольников нужно заменить на какую-то кривую. На рисунке она изображена как полуокружность, но на самом деле это другая кривая. Проведём на плоскости заготовки систему декартовых координат: ось x ровно по тому месту, где заготовка начинает закругляться, а ось y — как направленную вверх ось симметрии вдоль заготовки. Пусть y=f(x) — кривая стыковки. Чему равно число 100f''(0)? (Вторая производная при x=0, умноженная на 100.) Результат округлите до целого числа.

Определим две последовательности многочленов: S₀(x)=C₀(x)=1, C₁(x)=x, S_n+1(x)=C_n+1(x)+xS_n(x), C_n+2(x)=xC_n+1(x)+x²S_n(x)−S_n(x). Сколько различных действительных корней имеет многочлен C₂₀₁₁(x) в интервале (−1/2, 1/2)?

Площадь четырёхугольника равна 67. Найдите минимально возможное значение суммы произведений длин его противоположных сторон (т.е. выражения ac+bd, если одна пара противоположных сторон имеет длины a и c, а другая пара - b и d).

В некоторых геометрических построениях с помощью циркуля и линейки можно обойтись одним циркулем или одной линейкой.

Рассмотрим множество всех таких натуральных чисел n>1, которые удовлетворяют следующему условию: с помощью одной линейки можно разделить сторону заданного (уже нарисованного) прямоугольника на n равных частей.

Какие натуральные числа 1<n<22 принадлежат этому множеству? Укажите в ответе их сумму.

Рассмотрим вещественные числа:

t > 0

x = (1 + 1/t)^t

y = (1 + 1/t)^t+1

Чему равна точная нижняя граница множества значений выражения x^y ?

Округлите ответ с точностью 2-х знаков после запятой.