На плоскости проведены три прямые, не пересекающиеся в одной точке. Известно, что радиусы всех окружностей, касающиеся всех трёх прямых - целые числа. Радиусы двух из этих окружностей равны 4 и 22. Найдите сумму радиусов всех остальных окружностей, касающихся тех же трёх прямых.

На доске рисуют звезду - замкнутую пятизвенную ломаную. Во внутренний пятиугольник этой звезды вписывают ешё одну звезду и так далее, как показано на рисунке.

Сколько четырёхугольников будет нарисовано, когда число звёзд, построенных таким образом, достигнет 100?

Считаются и выпуклые, и вогнутые 4-угольники. Но не считаются вырожденные и самопересекающиеся.

Дана ломаная M₀M₁M₂M₃M₄M₅M₆M₇. Все углы M₀M₁M₂, M₁M₂M₃, ..., M₅M₆M₇ равны. Их величина такая, что, если бы все звенья были одинаковой длины, то ломаная была бы замкнута, образуя правильный семиугольник. Однако, длины звеньев другие:

|M₀M₁| = 5
|M₁M₂| = 8
|M₂M₃| = 11
|M₃M₄| = 14
|M₄M₅| = 17
|M₅M₆| = 20
|M₆M₇| = 23

Соединив отрезком крайние точки M₇ и M₀, получим восьмиугольник. Найдите размер его наименьшего угла в градусах.

На рисунке изображена 11-конечная звезда с концами в 11-и точках, определяющих на параболе y=x² десять дуг одинаковой длины, от точки (-2, 4) до точки (2, 4).

Чему равна сумма углов концов звезды (в градусах)?

Ребра правильного тетраэдра поделены на 6 равных частей. Провели всевозможные плоскости, проходящие через точки деления и параллельные граням тетраэдра, а также четыре плоскости, содержащие сами грани тетраэдра. На какое количество частей эти плоскости разбивают пространство?