Найдите количество решений в целых числах уравнения:
x/(y + z) + y/(z + x) + z/(x + y) = 4
в пределах: 0 ≤ x + y + z ≤ 6000.

Симметричные решения, получаемые одно из другого перестановкой переменных, считать различными.

Рассмотрим систему двух неравенств с целочисленными коэффициентами:

Ax² + Bx + C ≤ 0
Dx² + Ex + F ≤ 0

Найдите минимально возможную сумму |A| + |B| + |C| + |D| + |E| + |F|, при которой эта системы имеет действительные решения, но не имеет рационального решения?

Определителем таблицы из 9-и чисел:
a b c
d e f
g h i
называется значение выражения:
a*e*i + b*f*g + c*d*h – c*e*g – a*f*h – b*d*i.

Дано число: n = 10¹⁰⁰ + 1. Рассмотрим всевозможные таблицы указанного выше вида, когда каждый из 9-и чисел равен либо 1, либо n. Пусть их наибольший определитель равен x. Найдите сумму цифр числа x.

Дана ломаная M₀M₁M₂M₃M₄M₅M₆M₇. Все углы M₀M₁M₂, M₁M₂M₃, ..., M₅M₆M₇ равны. Их величина такая, что, если бы все звенья были одинаковой длины, то ломаная была бы замкнута, образуя правильный семиугольник. Однако, длины звеньев другие:

|M₀M₁| = 5
|M₁M₂| = 8
|M₂M₃| = 11
|M₃M₄| = 14
|M₄M₅| = 17
|M₅M₆| = 20
|M₆M₇| = 23

Соединив отрезком крайние точки M₇ и M₀, получим восьмиугольник. Найдите размер его наименьшего угла в градусах.

На шахматной доске n на n расставлены n² ферзей n различных цветов, по n ферзей каждого цвета. Каждый ферзь стоит на отдельной клетке, и ни один ферзь не стоит ни на той же горизонтали, ни на той же вертикали, ни на той же диагонали (большой или маленькой) что другой ферзь того же цвета. На рисунке показан пример такой расстановки ферзей для n=5:

Найдите 4 наименьших натуральных числа n, для которых это возможно. Укажите в ответе их сумму.

Рассмотрим уравнение в целых числах:
x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = x+y+z.
Найдите первые три наименьшие различные неотрицательные значения суммы s=x+y+z. Введите в ответе сумму этих трёх значений s.

7 первых натуральных чисел, кратных 7-и, расположили в каком-то произвольном порядке в одну строку без пробелов, например так: 7142128354249.

Соединив первую и последнюю цифры, получили замкнутую цепочку из 13-и цифр (смотрите рисунок).

Затем разъединили какие-то две соседние цифры и снова натянули цепочку в одну строку. Получилось 13-значное число. На рисунке это число: 2835424971421.

Какое наименьшее возможное число?

Замечание: Наши цифры как игрушка «Ванька-встань-ка» - сколько бы их ни поворачивать, они всегда смотрят на нас вертикально.

Из бумаги склеили правильный тетраэдр. Затем на его поверхности последовательно сделали n разрезов в форме отрезков прямых, в результате чего она распалась на m частей, которыми удалось оклеить без просветов и наложений 3 одинаковых правильных тетраэдра, не имеющих общих точек. Найдите минимально возможное значение 100m + n.

Замечание: разрезания разрешено чередовать с развёртыванием исходного тетраэдра.

На плоскости в узлах правильной треугольной решетки расположены точки так, что их множество образует правильный шестиугольник. На стороне этого шестиугольника 10 точек (рис. для 4 точек).

Сколько попарно неконгруэнтных правильных шестиугольников определяют эти точки?

На рисунке изображена 11-конечная звезда с концами в 11-и точках, определяющих на параболе y=x² десять дуг одинаковой длины, от точки (-2, 4) до точки (2, 4).

Чему равна сумма углов концов звезды (в градусах)?