Функция Эйлера φ(n) определена для каждого натурального числа n как количество натуральных чисел, непревосходящих n, взаимно простых с n.

Найдите сумму всех натуральных чисел n, для которых φ(n)=128.

Внутри некоторого выпуклого 13-угольника нет ни одной точки, через которой проходят 3 (или больше) его диагоналей. Сколько всего точек пересечения диагоналей есть внутри этого многоугольника?

В соревновании участвовало 20 спортсменов. Каждому из них было предложено заранее угадать, какое место он займёт. Петя сказал, что он займёт последнее место. 19 спортсменов заняли места похуже, чем они предполагали. Какое место занял Петя?

Элементы квадратной матрицы 3 на 3 - различные действительные числа. Произведения трёх элементов каждой строки, каждого столбца и каждой большой диагонали равны одному и тому же натуральному числу. Какое минимально возможное значение этого натурального числа?

На доске рисуют звезду - замкнутую пятизвенную ломаную. Во внутренний пятиугольник этой звезды вписывают ешё одну звезду и так далее, как показано на рисунке.

Сколько четырёхугольников будет нарисовано, когда число звёзд, построенных таким образом, достигнет 100?

Считаются и выпуклые, и вогнутые 4-угольники. Но не считаются вырожденные и самопересекающиеся.

Назовём натуральное число интересным, если его запись в десятичной системе счисления состоит из чётного количества цифр и его «левая половина» равна его «правой половине». Например, 2020 - это интересное число. Найдите наименьшее интересное число, являющееся квадратом целого числа.

Расмотрим простое число p=1000000007=10⁹+7 и все целые числа n, которые не делятся на p. Какие значения, не превосходящие 14, может принимать остаток от деления n² на p?

Введите ответ в виде строки из 14-и НУЛЕЙ и ЕДИНИЦ, где на k-м месте (слева) стоит ЕДИНИЦА, если остаток от деления n² на p может принимать значение k, а в противном случае - НОЛЬ.

Если на лист "тетрадки в клеточку" положить квадрат со стороной 6, то он захватит какую-то фигуру из нескольких целых клеток (например, как показано на рисунке).

Сколько может быть таких неконгруэнтных фигур?

Считаются только максимальные фигуры: если к фигуре можно добавить хотя бы одну целую клетку (быть может), используя поворот и/или сдвиг квадрата по листу, то такая фигура не максимальная. Фигура на рисунке, очевидно, не максимальная. Такие не считаем.

В «подробном» решении следует показать все фигуры, либо как-то ясно их описать (например, используя шахматную терминологию).

Найдите количество решений в целых числах уравнения:
x/(y + z) + y/(z + x) + z/(x + y) = 4
в пределах: 0 ≤ x + y + z ≤ 6000.

Симметричные решения, получаемые одно из другого перестановкой переменных, считать различными.

На рисунке изображён пример полиомино - фигуры, состоящей из какого-то количества смежных клеток размером 1x1 на листе тетрадки в клеточку:

На том же рисунке также изображён квадрат размером 8x8, в котором данное полиомино помещается целиком.

В этом примере полиомино занимает на листе тетрадки 9 строк и 9 столбцов, а стороны большого квадрата наклонены к сторонам клеточек под углами с тангенсами -3/5 и 5/3. На рисунке также выделены вершины полиомино, лежащие на сторонах большого квадрата.

Нас интересует количество различных (не конгруэнтных) полиомино, обладающих следующими двумя свойствами:
1. Для полиомино существует квадрат 8x8, в котором оно помещается целиком.
2. Полиомино является «максимальным»: Если к нему добавить хотя бы одну клетку, то уже не существует квадрат 8x8, в котором оно будет помещаться целиком.

Разобъём все полиомино, обладающие двумя указанными свойствами, по количествам строк и столбцов, которые они занимают на листе тетрадки. Обозначим:
n1 – Количество полиомино, занимающих 8 строк и 8 столбцов;
n2 – Количество полиомино, занимающих 8 строк и 9 столбцов (или наоборот);
n3 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 9 столбцов;
n4 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 10 столбцов (или наоборот);
n5 - Количество полиомино, занимающих 10 строк и 10 столбцов.

В ответ введите эти 5 чисел подряд, без пробелов, слева направо: n1n2n3n4n5