Докажите, что для любого натурального числа существует такое его кратное, в десятичной записи которого используется не более двух различных цифр.

Сколько существует различных (попарно не конгруэнтных) треугольников, площадь которых и площади квадратов, построенных на их сторонах, - целые числа, не превосходящие 10?

Сколькими способами можно расположить 4 точки на плоскости таким образом, что все расстояния между любыми двумя имели ровно два различных значения?

Расмотрим простое число p=1000000007=10⁹+7 и все целые числа n, которые не делятся на p. Какие значения, не превосходящие 14, может принимать остаток от деления n² на p?

Введите ответ в виде строки из 14-и НУЛЕЙ и ЕДИНИЦ, где на k-м месте (слева) стоит ЕДИНИЦА, если остаток от деления n² на p может принимать значение k, а в противном случае - НОЛЬ.

В треугольнике ABC соотношения длин сторон:
|AB| : |BC| : |CA| = 13 : 17 : 19.

Пусть m - окружность, описанная около треугольника ABC, её длина равна 1440. n - окружность, вписанная в треугольнике ABC.

Определим множество W всех таких точек M на окружности m, которые обладают следующим свойством:
если провести из точки M обе касательные к окружности n, и эти касательные пересекут окружность m в новых точках M₁ и M₂, то отрезок M₁M₂ также будет касаться окружность n.

Очевидно, точки A, B и С принадлежат множеству W. Известно, что множество W можно разбивать на взаимно непересекающиеся сплошные дуги на окружности m. Чему равна их суммарная длина?

Длина стороны равностороннего треугольника равна d. Внутри треугольника есть точка, расстояния от которой до вершин треугольника равны a, b, c.

Найдите полином 4-й степени от 4-х переменных a, b, c, d, для которого выполняется: P(a,b,c,d)=0 для любого равностороннего треугольника и любой точки внутри него.

В качестве ответа введите сумму абсолютных величин всех его коэффициентов, если коэффициент при d⁴ равен 1.

Если на лист "тетрадки в клеточку" положить квадрат со стороной 6, то он захватит какую-то фигуру из нескольких целых клеток (например, как показано на рисунке).

Сколько может быть таких неконгруэнтных фигур?

Считаются только максимальные фигуры: если к фигуре можно добавить хотя бы одну целую клетку (быть может), используя поворот и/или сдвиг квадрата по листу, то такая фигура не максимальная. Фигура на рисунке, очевидно, не максимальная. Такие не считаем.

В «подробном» решении следует показать все фигуры, либо как-то ясно их описать (например, используя шахматную терминологию).

Расмотрим такую последовательность:
F₀ = 0,
F₁ = 1,
F₂ = 3,
F₃ = 10,
...
F_n+2 = 3F_n+1 + F_n

Сколько цифр в F_1000000 ?

В каждой из 18-и строк следующей таблицы задана длина стороны равностороннего треугольника - d, и расстояния от некоторой точки на этой же плоскости до трёх вершин треугольника: a, b и c.

По этим данным нужно определить для каждой строки, находится ли точка внутри треугольника.

Ответ должен состоять из 18-и нулей и единиц: Каждой строке соответствует "1", если точка находится внутри треугольника, и "0" в противном случае.

Окружность x²+y²=1 растянули в два раза по горизонтали и получили эллипс x²+4y²=4. При этом действии, площадь фигуры, ограниченной кривой, выросла в два раза. А во сколько раз выросла длина кривой?

Ответ округлите до 5-и десятичных знаков после запятой.