Перед двумя игроками 3 кучки спичек. В первой кучке 111 спичек, во второй — 114, а в третьей — 116 спичек. Каждый из игроков своим ходом берёт из любой (но только одной!) кучки произвольное целое число спичек от 1 до 11 включительно. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку со стола. Сколько спичек и из какой кучки должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе напишите подряд, без пробелов, номер кучки и количество спичек.

Жили были три поросёнка. Один из них всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий — дипломат: может и правду сказать, и соврать. Но неизвестно, кто есть кто. Они же, как водится в таких задачах, всё знают друг про друга. Какое наименьшее число вопросов типа "да–нет" нужно задать, чтобы наверняка узнать, кто есть кто? Каждый вопрос можно задавать любому (но только одному!) поросёнку.

Есть весы, показывающие точный вес, и 6 одинаковых на вид монет, одна из которых фальшивая: её вес отличается от веса настоящей монеты (веса настоящих монет одинаковы). За какое наименьшее число взвешиваний можно наверняка определить вес настоящей монеты и вес фальшивой?

Команда IF A=B HANG 1 на языке программирования MUMPS означает: "если A=B, то выполнить задержку программы на 1 секунду". В языке MUMPS почти нет понятия ТИПА ДАННЫХ (текстовые, целые числа, плавающая точка, короткие, длинные, логические и т.п.). Можно смело смешивать все данные, и всё будет выполняться по какой-то "естественной" логике каждой конкретной операции. Например, выражение 123 можно одновременно рассматривать и как число, и как строку. Кроме того, почти каждую команду можно писать не полностью, а только её начальные буквы. Например, вместо команды HANG можно писать HAN, или HA или только одну букву H. Длина написанной выше команды — 13 символов. Напишите эту же команду прописными латинскими буквами в кратчайшем виде.

Для натурального числа n обозначим C(n) количество натуральных чисел x меньших n, для которых x²+x+1 делится на n. Чему равно C(p), если p — простое? В ответе напишите без пробелов значения C(k·2^k−1) при k=115, 123, 249, 362 и 384. Учтите, что числа k·2^k−1 являются простыми при всех указанных значениях k.

В трёх стаканах находится a, b и c мл воды, где 0<a<b<c≤200. Разрешена такая операция: количество воды в любом стакане можно удвоить, переливая из любого другого стакана, в котором для этого достаточно воды. Цель: посредством таких операций полностью опорожнить какой-нибудь стакан. Найдите число троек целых чисел a, b, c, для которых цель не может быть достигнута.

Любое простое число вида p=4k+1 можно единственным способом представить в виде:

p = a² + b²,

где a<b - целые положительные числа. Например:

165100009 = 5520² + 11603².

Квадраты таких простых чисел также можно представить единственным способом в виде:

p² = x² + y²,

где x<y - целые положительные числа.

Найдите два целых положительных числа x<y, для которых выполняется:

165100009² = x² + y².

В качестве ответа введите оба числа подряд без пробелов: x (меньший), и сразу за ним y (больший).

Когда наша туристическая группа собралась в аэропорту перед отправкой в гостиницу, на наших чемоданах наклеили бирки с номерами комнат. Приехав в гостиницу, каждый поднимался к своему номеру, где его ждал его чемодан.

Когда мы с женой уже устроились, к нам постучали. Женщине в комнату № 809 не принесли чемодан, и она вместе с руководителем группы стали спрашивать по всем комнатам, не к ним ли принесли чемодан по ошибке.

Утром я встретил женщину и спросил: Нашли чемодан? Она радостно ответила: Конечно!

Где был чемодан?

Рассмотрим число n=1096375199328173. Рассмотрим все натуральные числа от 1 до n-1 включительно. Рассмотрим остатки от деления квадратов этих чисел на n. Сколько всего получится различных остатков?

Рассмотрим число n=10⁶. Найдите сумму:
S = Σ(-1)^m+1•[n / (p₁•p₂•...•p_m)], 
где (p₁•p₂•...•p_m) – всевозможные произведения различных простых чисел, m=1, 2, 3, ..., [x] – целая часть x.