Во всём Интернете братьям близнецам, Ване и Васе, очень понравился лишь один сайт. Для регистрации в нём они придумали пароли, причём одним и тем же легко запоминающимся способом: Ваня как патриот — 5101622115, а космополит Вася —  49156114. При этом пришлось пренебречь последними двумя цифрами (знаками десятичной системы счисления, которые соответствуют методу образования пароля, — уже и без них пароли достаточно надёжны). Каким двузначным числом пришлось пожертвовать?

В оранжерее на космической станции в виде прямоугольника 7¹³×13⁷ расставлены горшки с цветами. На каждом цветке сидит по одной бабочке. Трижды хлопала дверь, и всякий раз каждая из 7¹³×13⁷ бабочек перелетала по диагонали на соседний цветок. После каждого хлопка на некоторых цветах оказывалось по несколько бабочек, а на некоторых — ни одной, и при этом каждая бабочка, в очередной раз перелетая, не возвращалась на свой прежний цветок. Найдите наименьшее возможное число цветов, на которых не сидит ни одной бабочки после трёх хлопков.