Последовательности действительных чисел a_n, b_n (n=0,1, ...) заданы так, что a₁=α, b₁=β и a_n+1=αa_n-βb_n, b_n+1=βa_n+αb_n для всех n≥1. Найдите количество пар числ (α,β) не равных нулю, таких что a₁₉₉₇=b₁ и b₁₉₉₇=a₁.

Пусть f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)+...+1/(x-100) и x₁, x₂, ..., x_n - нули функции в каком-то порядке.

Найдите максимум выражения ([x₁]-[x₂]+[x₃]-[x₄]+...±[x_n])/(n+1), где [x] - целая часть x.

Имеется 100 сейфов, каждый из которых можно открыть только своим ключом. Ключи случайным образом поместили по одному во все сейфы и захлопнули дверцы. Затем взломали 2 сейфа и получили 2 ключа. Найдите вероятность того, что получится открыть все остальные сейфы не взламывая.

Дедушке прописали принимать по полтаблетки каждый день в течение 60 дней. В пузырьке было 30 целых таблеток. В первый день он вытряхнул из пузырька таблетку и разломал ее пополам, одну половинку принял, а вторую положил обратно в пузырёк. Каждый следующий день он случайным образом вытряхивал из пузырька таблетки - если это оказывалась целая таблетка, то он ее разламывал и принимал половинку, а вторую клал в пузырёк, если выпадала половинка, то он принимал её. На какой день с вероятностью не менее 1/2 выпадет половинка таблетки?