Будем строить множества из 2012 произвольных действительных чисел так, чтобы сумма любых 777 чисел из этого множества была строго положительна. Какое максимально возможное количество отрицательных чисел может быть в таком множестве?

Продолжения сторон (AD и BC) и (AB и CD) выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках E и F соответственно. Для определенности будем считать, что E и F лежат по одну сторону от прямой AC. (см.рис.) Внутри диагонали AC произвольным образом выбрана точка G. Прямые BG || DH || EI || FJ параллельны друг другу, а точки H, I, J являются точками пересечения соответствующих прямых с прямой AC так, что |DH|=a,  |EI|=b, |FJ|=c. Найдите длину отрезка |BG|, если a=9, b=3, c=6.

Найдите максимально возможное значение выражения

x/(x²+3)+y/(y²+3), если x>0, y>0, x·y=1, x,y - действительные числа. 

Для двух натуральных x и k, рассмотрим два числа: x и (x+k). Определим функцию f(k)=i, где i - количество таких чисел x_i, что и x_i, и x_i+k являются точными квадратами некоторых натуральных чисел. Например f(1)=0; f(3)=1 {x=1}; f(21)=2 {x₁=4, x₂=100} и т.д. В интервале 1<k<2¹² найдите все такие k, что f(k)=15. В ответе необходимо указать сумму всех таких k.

Найдите минимальное натуральное число k такое, что при любых натуральных n, значение многочлена P(n)=7·n³⁷+37·n⁷+4·k·n - делится на 259 без остатка.

Определим функцию двух переменных f(n,m), где n≥0 (из множества неотрицательных целых чисел), а m любое целое число так, что f(n,m):{Z⁺xZ}→Z и определяется следующим образом:

1. f(0,m)=1, если m=0 или m=1;

2. f(0,m)=0, если m≠0 и m≠1;

3. f(n,m)=f(n-1,m)+f(n-1,m-2·n) при n>0; любых m;

Найдите сумму  

Рассмотрим полуокружность с центром в точке O и радиусом |AO|=|OB|=17. Внутри отрезка OB произвольным образом выбираем точку C при этом |AO|<|AC|<|AB|. С центром в точке C и радиусом |CB|=|CD| построим еще одну полуокружность. Через точку D проведем прямую, перпендикулярную прямой AB и пересекающуюся с большой полуокружностью в точке D'. В фигурный сектор DD'B вписана окружность с центром в точке I и касающаяся прямой DD' и обеих полуокружностей в точках H, G и F соответственно. (см. рис.)

Проведем прямую через точки С и I, которая пересекается с прямой DD' в точке E. Найдите все возможные случаи, когда длина отрезка |CE| - целое число. В ответ введите сумму найденных вариантов.

Для данной функции , найдите сумму 

.

Рассмотрим множество квадратов для первых 40 натуральных чисел:

S={1²,2²,3²,4²,..., 39²,40²}.

Для каждого из чисел 1<n<41, рассмотрим все подмножества S, которые состоят ровно из n элементов. Если при фиксированном n, в каждом из подмножеств длины n найдутся хотя бы два элемента x и y такие, что x+y =p простое число, будем называть число n - квадратнопростым. Найдите минимальное квадратнопростое число n для данного множества S.

(Например для множества S={1, 4, 9}, n=2: {1, 4}, {1, 9}, {4, 9}; n=3: {1, 4, 9}, и минимальное квадратнопростое число n=3).

На окружности с центром в т.O выбраны точки A и B так, что угол AOB=90°. На бОльшей дуге AB произвольным образом выбрана точка С (будем считать, что B и С лежат по одну сторону от прямой AO) через которую проведена касательная к нашей окружности. Из точек A и B проведены перпендикуляры к  этой касательной, пересекающие ее в точках D и E соответственно. Причем оказалось, что |AD|=686, а |BE|=252. Найдите радиус окружности |AO|.