На каждой грани кубика написано число. При одновременном бросании двух кубиков кубик A выигрывает у кубика B, если число, выпавшее на кубике A больше числа, выпавшего на кубике B. Будем говорить, что кубик A сильнее кубика B, если кубик A чаще выигрывает у кубика B и записывать A > B.

Можно ли на гранях пяти кубиков расставить числа от 1 до 30 (каждое по одному разу) так, чтобы оказалось: Зеленый кубик > Черный кубик > Оранжевый кубик > Желтый кубик > Белый кубик > Зеленый кубик ?

На приведенном примере числа на кубиках расставлены случайным образом.

Натуральный ряд записан построчно в виде числовой пирамиды: в первой строке записана 1, во второй строке – следующие два числа 2 и 3, в третьей строке – следующие три числа, и т.д., то есть в n-ой строке записаны n очередных чисел.

Найдите сумму чисел в 123-ой строке этой числовой пирамиды.

В алфавите из n букв можно составлять слова в которых стоящие рядом буквы различны и из которых вычеркиванием букв нельзя получить слова вида abab, гда a и b различные. Найдите максимально возможную длину слова. В ответе укажите длину слова для n = 33.

На какое максимальное число непересекающихся областей могут рассечь круг отрезки, соединяющие n точек, лежащих на его окружности? Ответ укахите для n = 12.

Натуральный ряд записан построчно в виде числовой пирамиды: в первой строке записана 1, во второй строке – следующие два числа 2 и 3, в третьей строке – следующие три числа, и т.д., то есть в n-ой строке записаны n очередных чисел. Рассмотрим «многоэтажные ёлочки», каждый этаж которых занимает три строки. Например, на рисунке изображена четырехэтажная елочка.

Найдите сумму чисел, находящихся внутри контура 123-этажной ёлочки этой числовой пирамиды.

Сколько существует квадратов, вершины которых находятся на узлах точечной сетки 100x2021?

На рисунке изображён пример квадрата в точечной сетке 5x8.

Требуется сшить ковёр размерои 3х3 метра. Для этого можно использовать лоскуты материи размерами 0.5х0.5 метра и 0.5х1 метр в любом количестве, при условии, что сшитый ковёр не имеет  прямых швов от края до края ковра. Два ковра считаются разными, если в них использовано разное количество лоскутов (независимо от их расположения). Сколько разных ковров можно изготовить в этих условиях?

Администратор сайта проводит конкурс на лучшую авторскую задачу. Условия таковы: участники анонимно предлагают одну свою задачу. После публикации задач все участники дают оценку каждой задаче, кроме своей. В конкурсе приняли участие 6 человек. Каждый участник за лучшую (по его мнению) задачу давал 5 баллов, за следующую 4 балла, и т.д., за пятую - 1 балл. По каждой задаче баллы суммировались - это рейтинг задачи. Оказалось, что все рейтинги различны.

А) Могли ли все рейтинги быть простыми числами?

Б) Могла ли сумма четырёх наибольших рейтингов быть в три раза больше суммы остальных рейтингов?

В) Какова минимальная сумма третьего и четвёртого по величине  рейтингов?

В качестве ответа на вопросы А), Б) вводите 1, если «Да» и 0, если «Нет»; на вопрос В) вводите сумму рейтингов.

Например, ответ 1029 означает: А) «Да», Б) «Нет», В) 29.

Вундеркинд Вася нашёл очень старый калькулятор, на котором изображались числа, но лишь на 8-ми позициях. Проверяя калькулятор на разных умножениях чисел, он вспомнил простой метод: имеется равенство N*x=111111111 (9 единиц), где х - некая цифра (N легко запоминается). Однако такое произведение не может получиться на старом калькуляторе. Такое умножение N*8 позволяло бы легко проверить находку, но к несчастью, кнопки "2","6","8" не работали! Вдруг Васю осенило проверить находку на правильность деления: М/у=N (у - тоже цифра), а заодно - и умножения N*у=М. Итак, запросто обнаружилась возможность получить работоспособный калькулятор после мелкого ремонта! Кнопку "2" Васе удалось починить почти сразу и проверить умножение (N*2)*2*2=N*8. Пусть m - количество всех разных цифр в записи числа N*8. Чему равно М+m?

Натуральный ряд записан построчно в виде числовой пирамиды: в первой строке записана 1, во второй строке – следующие два числа 2 и 3, в третьей строке – следующие три числа, и т.д., то есть в n-ой строке записаны n очередных чисел.

Рассмотрим треугольные рамки, у которых одна вершина совпадает с вершиной пирамиды, две стороны параллельны боковым сторонам пирамиды, третья сторона содержит n-ую строку числовой пирамиды. На рисунке показана 6-ая рамка. Чему равна сумма всех чисел в 123-ей треугольной рамке?