Найдите количество хорд с концами в целочисленных точках параболы y = x² при |x| <= 9*12 (=108)? В ответе укажите это количество хорд, делённое на 12.

P.S. С Днем Рождения, Николай Иванович!

Известно, что 
, где a, b, c - натуральные числа. Найти a+b+c.

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, в каждую клетку которой вписано число натурального ряда, – по порядку, начиная с 1, следуя по спирали (см. рис.). Спираль для определенности будем считать закручивающейся по часовой стрелке.

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре клетки с числом 1 и осями, параллельными сторонам клеток. Нарисуем в ней четыре параболы y=x³, y=–x³, x=y³ и x=–y³. Рассмотрим на параболах точки с целыми координатами. Каждая такая точка определяет клетку плоскости, а значит, и написанное в ней число. Например, точке параболы (0; 0) соответствует число 1, точке (1; 1) — число 9, а точке (2; 8) — число 283. Все такие числа выделены зеленым цветом. Сгруппируем выделенные числа так, чтобы все они (кроме центральной единицы) лежали на концентрических окружностях. На рисунке приведены первые две окружности.  Найдите среднее арифметическое чисел, расположенных на 10-ой окружности и укажите его в ответе.

Определить сумму всех натуральных чисел x, для которых число 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷ является степенью простого числа.

Действительные отличные от нуля числа x, y таковы, что
x * (4^x - 2^y)/(4^x + 2^y) = y * (4^y - 2^x)/(4^y + 2^x). Найти |x|/|y|.

4 параллельных  прямых расположены на плоскости одна за другой на одинаковых растояниях. 4 других параллельных  прямых, не параллельных предыдущим прямым, также расположены на той же плоскости одна за другой на одинаковых растояниях. Наконец, третья группа 4-х параллельных  прямых, не параллельных предыдущим, тоже расположены на той же плоскости одна за другой на одинаковых растояниях.

Эти 12 прямых делят плоскость на n областей. Найдите сумму всех возможных значений n.

На гранях кубика написаны все буквы слова "ХОРОШО" - по одной букве на грань (буква О, например, написана 3 раза). Сколько раз в среднем надо бросить кубик, чтобы 6 последовательных бросков дали слово "ХОРОШО"?

20 студентов сдавали экзамен по очереди. Сначала они написали на бумажках номера от 1 до 20 и случайным образом вытаскивали по одной бумажке, тот кто вытащил бумажку с номером 1, пошел сдавать первым. Затем бумажка с номером 20 была уничтожена и оставшиеся студенты снова вытаскивали бумажки и снова, вытащивший номер 1 шел следующим. Процедура повторялась каждый раз, пока все студенты не сдали экзамен. Как оказалось, у каждого студента все вытянутые им номера были различными. Староста группы в первый раз вытащил число 14. Каким по счету он пошел отвечать?

a/b + b/c + c/a=3,
b/a + c/b + a/c=2.
(a/b)³ + (b/c)³ + (c/a)³=?