img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
Рисунок
Rss

Задачи: Математика   
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
+ 12
  
Задачу решили: 88
всего попыток: 120
Задача опубликована: 15.08.12 08:00
Прислал: georgp img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Volga (Xxx Xxx)

Заданы 3 системы неравенств

3x-y≤11, 2x-5y≤-10,

-4x+2y≤5, x+y≤10,

2x-y≤5, 4x-2y≥10.

Точки плоскости, координаты  которых удовлетворяют данным  системам, образуют некоторое множество. Найдите точку этого множества с максимальной суммой координат x и y. В ответе укажите эту сумму.

+ 17
  
Задачу решили: 39
всего попыток: 115
Задача опубликована: 17.08.12 08:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: арифметикаimg
Лучшее решение: nellyk

Рассмотрим монотонно возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые являются суммой цифр квадрата хотя бы одного натурального числа (в десятичной системе счисления).

Чему равен миллионный член этой последовательности?

+ 19
  
Задачу решили: 48
всего попыток: 355
Задача опубликована: 22.08.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: арифметикаimg
Лучшее решение: Sam777e

На экзамене 16 школьников решали 30 задач. Каждый ученик верно решил не более 15 задач, а каждую задачу решило не менее 8 школьников. При этом для любой пары школьников количество задач, решенных ими обоими, одинаково и равно n. Найдите n.

+ 5
  
Задачу решили: 67
всего попыток: 101
Задача опубликована: 26.08.12 08:00
Прислал: georgp img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Dremov_Victor (Виктор Дремов)

Известно, что 12x1+22x2+32x3+...+2002 x200≤2040000, где x1,  x2,  x3 ,…. X200 принимают значения 0 или 1. 

Найти максимальное значение 12x1+22x2+32x3+...+2002 x200.

+ 9
  
Задачу решили: 52
всего попыток: 157
Задача опубликована: 03.09.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: теория чиселimg
Лучшее решение: leonid (Леонид Шляпочник)

Для натурального числа k обозначим

a_k = \cfrac{361984!}{k!(361984 - k)!}. 

Найдите наибольший общий делитель чисел a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{361983}.

+ 15
  
Задачу решили: 48
всего попыток: 238
Задача опубликована: 10.09.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: теория чиселimg
Лучшее решение: bbny

Найдите наибольшее натуральное a, для которого существует такое натуральное b, что ab+2a=b4a.

+ 10
  
Задачу решили: 70
всего попыток: 119
Задача опубликована: 17.09.12 08:00
Прислала: allanick img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: планиметрияimg
Лучшее решение: Vkorsukov

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине А, биссектриса прямого угла пересекает гипотенузу BC в точке D, так что DAB = 45°.  Если CD = 1 и BD = AD + 1,  найти длину AD.

m111_.png

 

Ответ представить в виде целого числа, умножив результат на 1000 и  округлив до ближайшего целого.

+ 13
  
Задачу решили: 55
всего попыток: 67
Задача опубликована: 19.09.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: теория чиселimg
Лучшее решение: bbny

Пусть t_1, t_2, \ldots, t_{1004} --- все натуральные числа, меньшие 2012 и взаимно простые с 2012. Найдите значение суммы дробных частей \sum \limits_{i = 1} ^{1004} \biggl\{\cfrac{523t_i}{2012}\biggr\}. (Здесь {x} обозначает дробную часть x, {x}=x-[x], где [x] наибольшее целое число, не превосходящее x (целая часть x).)

+ 13
  
Задачу решили: 46
всего попыток: 60
Задача опубликована: 28.09.12 08:00
Прислал: OlegSha img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: планиметрияimg
Лучшее решение: Timur

В остроугольном треугольнике ABC угол которого \angle A = \frac{\pi}{4}, внутри отрезков AB и AC можно выбрать две точки D и E так, что BD=CE=BC. Найдите длину отрезка DE, если квадрат расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC d^2=72962.

+ 7
  
Задачу решили: 43
всего попыток: 281
Задача опубликована: 03.10.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Angelina

Пусть f(x) = x^2 -10x + \frac{p}{2}. Найдите такое натуральное p, что уравнение f \circ f \circ f (x) = f(x) имеет ровно 4 различных действительных решения.

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.