Дано множество Т = {1935; 1936; 1939; 1951; 1953; 1957; 1963; 1971; 1981; 1983; 1984; 2013; 2016; 2023; 2025}. Назовем число N тетраэдровым, если и N правильными единичными треугольниками можно оклеить без наложений и пустот правильный тетраэдр. Сколько в множестве Т тетраэдровых чисел?

У математика 19 гирь с массой в килограммах ln2, ln3, ln4,....ln20 и точные двухчашечные весы. Какое наибольшее количество гирь он сможет использовать для уравновешивания на весах. 

Рассмотрим треугольную сетку точек в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся 8 точек:

На следующем рисунке изображён пример фигуры, границей которой

является замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• Её стороны лежат на линиях сетки, а вершины – в её узлах.
• Она проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.
• Она имеет поворотную симметрию 3-го порядка.

Фигура в этом примере состоит из 34-х маленьких треугольников.

Найдите наибольшее количество маленьких треугольников, из которых может состоять фигура, граница которой является ломаная со всеми указанными свойствами, на треугольной сетке равностороннего треугольника с 15-ю точками на стороне.

Рассмотрим треугольную сетку из 1+2+3+...+n точек, покрашенных в три цвета, расположенных в виде равностороннего треугольника с n точками на стороне. На рисунке изображён пример такой сетки при n=4.

Сетка обладает таким свойством: ни одна тройка точек одного цвета не образует равносторонний треугольник. Найдите максимальный n, при котором это возможно.

Рассмотрим открытый шар x² + y² + z² < R² и пересекающие его плоскости x=a, y=b, z=c, где a, b, c – все целые числа в пределах: |a|, |b|, |c| < R.

На сколько частей эти плоскости делят шар, если R=6?

Рассмотрим сферу x² + y² + z² = R² и пересекающие её плоскости x=a, y=b, z=c, где a, b, c – все целые числа в пределах: -R < a, b, c < R.

На сколько частей эти плоскости делят сферу, если R=6 ? (Считаются только невырожденные части сферы).

Пусть x є R, y є R, таковы, что x = y*(3 – y)² и y = x*(3 – x)². Найдите все возможные суммы (x + y), а также целые части от выражений (x + y + ½), то есть, величины [x + y + ½], где квадратные скобки обозначают функцию целой части.

В ответе укажите сумму всех полученных чисел [x + y + ½], соответствующих всем решениям исходной системы.

Например, если бы величина [x + y + ½] принимала только следующие значения, и только с указанной кратностью: 0; 6 (кратность 2); 7; 9; 13 (кратность 2) и 27, то ответ был бы равен 81 (причем, в данном примере двукратные величины 6 и 13 повторяются).

Окружность проходит через вершины B и C параллелограмма ABCD и касается его высоты AH, проведенной к стороне CD, в точке K. KF – это перпендикуляр, проведенный из точки K к прямой BC. Длины отрезков CH, HD и KF – последовательные натуральные числа, расположенные в возрастающем порядке.  Найдите длину стороны АВ параллелограмма ABCD.

Рассмотрим квадратную сетку из 20×20 точек. Найдите количество различных (неконгруэнтных) замкнутых ломаных на этой сетке, обладающих следующими свойствами:

• они проходят строго по линиям сетки;
• они проходят ровно один раз через каждый узел;
• они обладают поворотной симметрией 4-го порядка.

На рисунке изображён пример замкнутой ломаной, обладающей этими же свойствами, на квадратной сетке меньшего размера:

Рассмотрим треугольную сетку из 1+2+3+...+n точек, расположенных в виде равностороннего треугольника с n точками на стороне. Определим f(n) как максимально возможное количество точек этой сетки, не образующих ни один равносторонний треугольник (любого наклона).

Найдите f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)+f(9).