Вершину С правильного треугольника АВС соединили отрезком с точкой M, делящей сторону AB в отношении 3:5.

В образовавшиеся при этом два треугольника вписали круги, площадь меньшего из них равна 52. Найдите площадь большего круга.

Сколько существует различных (попарно не конгруэнтных) треугольников, площадь которых и площади квадратов, построенных на их сторонах, - целые числа, не превосходящие 10?

Бумажный лист в форме квадрата 8х8, содержит 64 квадратные клетки, которые раскрашены в три цвета так, как на рисунке. Обратная сторона листа – зеленая. Сделав несколько сгибов, сложите этот лист в форме квадрата 4х4 так, чтобы лицевая сторона его состояла из 16 белых клеток, а обратная – из 16 черных. В ответе укажите наименьшее число сгибов.

Уточнения: Сгиб – это поворот на 180° одной части фигуры вокруг некоторого отрезка прямой этой фигуры. Резать или рвать бумажный квадрат – нельзя. Промежутки между клетками не учитываются.

Расмотрим простое число p=1000000007=10⁹+7 и все целые числа n, которые не делятся на p. Какие значения, не превосходящие 14, может принимать остаток от деления n² на p?

Введите ответ в виде строки из 14-и НУЛЕЙ и ЕДИНИЦ, где на k-м месте (слева) стоит ЕДИНИЦА, если остаток от деления n² на p может принимать значение k, а в противном случае - НОЛЬ.

Если бумажную полосу единичной ширины завязать простым узлом так, чтобы он стал плоским, то узел примет форму правильного пятиугольника (рис. слева).

Пятиугольник на рисунке справа получен из бумажной полосы завязыванием пяти таких узлов. Чему равна длина полосы, если в сложенном виде её противоположные концы совпадают с отрезком АВ. Ответ округлите до целого числа.

Натуральный ряд записан построчно в виде числовой пирамиды: в первой строке записана 1, во второй строке – следующие два числа 2 и 3, в третьей строке – следующие три числа, и т.д., то есть в n-ой строке записаны n очередных чисел.

Найдите сумму чисел в 123-ой строке этой числовой пирамиды.

На листе бумаги нарисована одна из разверток куба, состоящая из шести равных квадратов. Сложите этот лист, сделав несколько сгибов, и сделайте только один прямолинейный разрез ножницами так, чтобы лист оказался разрезан на две части, одна из которых – развертка куба. В ответе укажите наименьшее число сгибов.

Уточнения: сгиб – это поворот на 180° одной части фигуры вокруг некоторого отрезка прямой этой фигуры.

Поверхность куба разрезать на минимальное число частей так, чтобы ими оклеить без наложений и просветов два равных куба. Чему равно это число?

В алфавите из n букв можно составлять слова в которых стоящие рядом буквы различны и из которых вычеркиванием букв нельзя получить слова вида abab, гда a и b различные. Найдите максимально возможную длину слова. В ответе укажите длину слова для n = 33.