n-ый член последовательности 1, 6, 8, 20, 21, 40, 40, 66, 65, 98, 96, … — это число бесконечной таблицы Пифагора, которого достигает шахматный конь, сделавший n ходов, двигаясь по бесконечной ломаной линии, начиная с числа 1. Маршрут шахматного коня представляет собой бесконечную зигзагообразную ломаную линию, начало которой изображено на рисунке для таблицы 13х13.

Все звенья ломаной имеют одинаковую длину и равны длине прыжка шахматного коня. Соседние звенья ломаной перпендикулярны, попеременно меняют направление влево, вправо, влево, вправо, ...

Пусть a₀=1, a₁=6, a₂=8. Найдите a₁₁₁.

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, в каждую клетку которой вписано число натурального ряда, – по порядку, начиная с 1, следуя по спирали (см. рис.). Спираль для определенности будем считать закручивающейся по часовой стрелке. 

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре клетки с числом 1 и осями, параллельными сторонам клеток. Нарисуем ветвь параболы y=√x и рассмотрим на ней точки с целыми координатами. Каждая такая точка определяет клетку плоскости, а значит, и написанное в ней число. Например, точке параболы (0; 0) соответствует число 1, точке (1; 1) — число 9, а точке (4; 2) — число 51. Пусть a_n — число, соответствующее точке (n²;n) параболы; тогда  a₀=1, a₁=9, a₂=51, a₃=295, ... Найдите  23-й член последовательности (a_n).

В координатной плоскости Oxy задана парабола y=x², на которой отмечены все ее точки с целыми координатами.

Проведены всевозможные хорды параболы, с концами в отмеченных точках.  Расположим хорды в порядке возрастания их длины, без повторений, и рассмотрим последовательность квадратов длин этих хорд. Начало последовательности выглядит так: 2, 4, 10, 16, 18, 20, 26, …. На рисунке изображена хорда AB, которой соответствует а₁₂ = 4²+8² = 80. Найдите 64-ый член последовательности.

Дана функциональная последовательность fn(x):
f0(x) = 0;
fn+1(x) = (x+fn(x)) / (x*(x+ fn(x))+1).

Найти предельную функцию g(x) при n стремящемся к бесконечности.
В ответе введите значение: 29*g(2) - g(82)

Дана бесконечная последовательность натуральных чисел a₀, a₁, a₂ … a_n
a_n+1 = √a_n, если a_n является квадратом натурального числа, 
a_n+1 = a_n + 3 в остальных случаях
Найти все возможные значения a₀, которые встречаются в последовательности более одного раза. В ответе введите сумму всех таких a₀.

Назовем зеркальным числом такое трехзначное число в сумме с трехзначным числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. Найти сумму всех зеркальных числел..

Найдите количество хорд с концами в целочисленных точках параболы y = x² при |x| <= 9*12 (=108)? В ответе укажите это количество хорд, делённое на 12.

P.S. С Днем Рождения, Николай Иванович!

Известно, что 
, где a, b, c - натуральные числа. Найти a+b+c.

Яблоко плавает на воде так, что 1/5 часть яблока находится над водой, а 4/5 - под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 г/мин, одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 45 г/мин. Какая часть яблока достанется рыбке?

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, в каждую клетку которой вписано число натурального ряда, – по порядку, начиная с 1, следуя по спирали (см. рис.). Спираль для определенности будем считать закручивающейся по часовой стрелке.

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре клетки с числом 1 и осями, параллельными сторонам клеток. Нарисуем в ней четыре параболы y=x³, y=–x³, x=y³ и x=–y³. Рассмотрим на параболах точки с целыми координатами. Каждая такая точка определяет клетку плоскости, а значит, и написанное в ней число. Например, точке параболы (0; 0) соответствует число 1, точке (1; 1) — число 9, а точке (2; 8) — число 283. Все такие числа выделены зеленым цветом. Сгруппируем выделенные числа так, чтобы все они (кроме центральной единицы) лежали на концентрических окружностях. На рисунке приведены первые две окружности.  Найдите среднее арифметическое чисел, расположенных на 10-ой окружности и укажите его в ответе.