В кружки фигуры, изображенной на рисунке, расставлены натуральные числа от 1 до 49, и в каждом квадрате найдена сумма четырех чисел, расположенных в его вершинах, после чего квадраты с одинаковыми суммами закрашены одним цветом. 

В этой расстановке максимум одинаковых сумм равен числу зеленых клеток, то есть 7. Расставьте эти числа в другом порядке, просуммируйте четверки чисел и раскрасьте квадраты указанным образом. В ответе укажите наибольшее возможное число одноцветных квадратов.

Уточним, рассматриваются только квадраты равные закрашенным.

Прямоугольный параллелепипед 3x4x5 составлен из белых и черных единичных кубиков. Оказалось, что пар соседних кубиков (т. е. имеющих общую грань) разного цвета всего 48, пар соседних кубиков белого цвета всего 51. Сколько пар соседних кубиков черного цвета?

«Докажем», что любое число ε>0 оно не меньше 1. Естественно, это «доказательство» содержит ошибку. Найдите в каком утверждении ошибка.

Пусть ε - любое положительное число.

1. Как известно, множество рациональных чисел в отрезке [0, 1] счётно и всюду плотно.

2. Пронумеруем его элементы: r₁, r₂, r₃, ...

3. Построим вокруг них окрестности: m_n = (r_n – ε/2ⁿ⁺¹, r_n + ε/2ⁿ⁺¹), n=1, 2, 3, ...

4. Рассмотрим множество U – объединение всех этих окрестностей. Его мера m(U) меньше или равна сумме мер составляющих: Σm(m_n) = ε.

5. Множество U, как объединение открытых множеств, также является открытым множеством.

6. Как открытое множество на числовой прямой, множество U может быть представимо как объединение конечного или счётного множества взаимно непересекающихся интервалов u₁, u₂, u₃, ...

7. Рассмотрим какие-нибудь два соседних из этих интервалов (т.е. любой один из них + ближайший к нему с той или другой стороны). Они либо лежат вплотную друг к другу, т.е. имеют общий конец, либо между ними есть зазор.

8. Если между ними есть зазор, это означает, что первоначально не были охвачены все рациональные числа. Следовательно, остаётся только вариант общего конца.

9. Таким образом, множество U покрывает весь отрезок [0, 1] кроме не больше чем счётное множество общих концов, имеющее меру 0.

10. Следовательно, мера множества U не меньше 1, и ε ≥ 1.

В квадратной таблице 360х360 строки и столбцы «пронумерованы» числами от 1° до 360°. В каждой ячейке этой таблицы записано число, равное произведению синуса «номера» строки на косинус «номера» столбца. Сколько рациональных чисел в этой таблице?

 log₄(x+2y)+log₄(x−2y)=1, найти мининум |x|-|y| для целых x и y.

Для положительных x, y и z таких, что x²+y²+z²+2xyz=1, найдите максимум xy+yz+zx-2xyz.

Сколько вариантов решений имеет тождество: пять/шесть=5/6. Различным буквам соответствуют различные цифры, одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры.

Пусть a, b и c действительные неотрицательные числа такие, что a+b+c=2. Найдите максимум выражения (a²-ab+b²)*(b²-bc+c²)*(c²-ca+a²).

Найдите максимальную сумму a+b+c+d+e+f+g среди всех семёрок целых чисел {a, b, c, d, e, f, g}, для которых выполняется:

0 < a < b < c < d < e < f < g

и

1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f + 1/g = 1/7.

xy+x+y=20,
zy+z+y=6,
xz+x+z=2. 

Найдите максимум значения выражения x²+y²+z².