По кругу написаны 29 ненулевых цифр. Из каждой пары соседних цифр составили двузначное число (при обходе по часовой стрелке первая цифра - число десятков, вторая - число единиц). При этом произведение получившихся 29 чисел является полным квадратом натурального числа. Найти минимальную сумму всех цифр. 

Вова и Маша печатают свои собственные деньги, у каждого свои купюры одного достоинства X и Y, соответственно. Как выяснилось, при помощи комбинации купюр можно сложить почти любые положительные целые числа, кроме 15 чисел. Одним из таких чисел является 18.

Найти X+Y.

Найдите положительный остаток при делении 666666⁷⁷⁷⁷⁷⁷ на 1464851.

Одна из 11 монеток обладает странным свойстовом - она может быть либо настоящей, либо фальшивой (более легкой), настоящие монетки весят одинаково. При этом после каждого взвешивания она меняет свое состояние на другое. В каком состоянии она находится в данный момент неизвестно. За сколько взвешиваний на чашечных весах ее можно определить?

Вовочка называет ненулевую цифру, а Маша вставляет ее вместо одной из звёздочек в выражение **** - **** (разность двух четырехзначных чисел). Цель Вовочки - получить после восьми ходов максимальное значение выражения, а цель Маши - минимальное. Каким будет значение выражения при идеальной игре обоих?

Имеется 100 неотличимых по виду шаров, среди которых 51 радиоактивный. При помощи детектора радиоактивности, на который умещается не более двух шаров, и его чувствительность невысока, поэтому он срабатывает только если оба шара активны. За какое минимальное количество тестов можно гарантированно найти все радиоактивные шары?

Десять мудрецов должны встать в шеренгу, при этом слева в шеренге должны стоять мудрецы в белых шляпах, а справа в черных. Всего имеется 5 белых и 5 черных шляп. Мудрецы перед испытанием могут договориться о стратегии. Затем они входят по одному в зал, при этом им одевают шляпы так, что они не знают какого они цвета. Общаться они не могут и, войдя в зал, должны сразу стать на свое место - слева или справа. Придумайте верную стратегию.

40 пиратов и капитан делят клад в 100 золотых монет. Пираты хотят получить вместе 80 монет, а капитан хочет получить все. Он предлагает игру. Капитан делит все монеты на 2 кучки, потом на 3 и так далее, пока все кучки не станут равными одной монете. Всего 99 ходов. Если на каком-либо ходе пираты найдут 40 кучек, сумма монет в которых равна 80, то они получают эти деньги. На каком минимальном ходу пираты обязательно получат деньги, как бы ни делил их капитан?

Трехзначное число делится на 11 без остатка. При этом частное равно сумме квадратов цифр делимого. Найдите сумму всех таких трехзначных чисел.

Классный руководитель отправил своих учеников Антона, Бориса, Вадима, Григория и Дмитрия на олимпиаду по математике и предположил, что Антон займет первое место, Борис - второе, Вадим - третье, Григорий - четвертое и Дмитрий - пятое. Оказалось, что он не угадал ни одного правильного места, и ни одной пары следующей непосредственно друг за другом учеников. Учитель математики предположил, что последовательность будет такой: Григорий, Антон, Дмитрий, Вадим, Борис и угадал места двоих учеников и две пары непосредственно следующих друг за другом учеников. Установите верный порядок. В ответе укажите последовательность цифр 1 (соответствует Антону), 2 (соответствует Борису) и т.д. в порядке от первого места до последнего. Например, если бы учитель математики был прав, то ответом было бы число - 41532.