Перед Вами тортик в форме куба, который нужно разрезать на 27 одинаковых кубиков. Какое наименьшее число разрезов Вам понадобится сделать, если разрешается резать сразу несколько кусков, которые перед этим можно как угодно переложить и перевернуть? (Каждый разрез осуществляется вдоль одной плоскости.)

По аллее длиной 100 метров гуляют старичок и старушка. Дойдя до конца аллеи каждый из них сразу же поворачивает обратно. Скорость старичка √2 км/ч, а старушки — 3 км/ч. В какой-то момент они оказались в противоположных концах аллеи. Сколько раз они встретятся в течение часа после этого? А сколько раз старушка обгонит старичка? В ответе укажите произведение двух полученных чисел. (Обгон встречей не является.)

Найти такое наименьшее число n, что любой выпуклый 60-угольник является пересечением n треугольников.

Положительные числа a и b таковы, что система из двух уравнений

x²+y²+z²=a, |x|+|y|+|z|=b

имеет ровно n решений. (Число n — натуральное.) Найдите сумму всех возможных значений n.

Из клетчатой бумаги вырезали квадрат 8×8 и все клетки в нём перенумеровали. Сколько имеется способов вырезать из этого квадрата две клетки так, чтобы его оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 1x2?

Может ли число n⁴+4 быть простым, если n — целое и n>1?

Какое наибольшее число сторон выпуклого многоугольника могут быть равны его самой длинной диагонали?

На ледяном поле лежат три шайбы. Хоккеисту разрешается бросить любую из шайб так, чтобы она пролетела между двумя другими. Могут ли шайбы оказаться на своих первоначальных местах после 111 бросков хоккеиста? (После броска шайба летит по прямой. И до, и после броска шайбы лежат в вершинах треугольника.)

Партия в волейболе выигрывается командой, которая первой набирает 25 очков с преимуществом минимум в два очка. В случае равного счёта 24-24 игра продолжается до достижения преимущества в 2 очка (26-24, 27-25 и т.д.). Две партии считаются различными, если строки, в которых выписан порядок набора очков командами, не совпадают. Сколько существует различных партий между командами А и Б, заканчивающихся победой команды А со счётом 32:30?

Припишем каждой букве русского языка свой номер: А–1, Б–2, ..., Я–33 (включаем все: Ё, Й, Ъ, и т.д.). Попытаемся разместить на плоскости несчётное множество букв А, несчётное множество букв Б, и так до буквы Я. Одинаковые буквы могут быть разного размера, но не могут иметь общих точек. Укажите сумму номеров букв, для которых это можно сделать.

Замечания: 1) Каждая буквая — это объединение точек, отрезков и дуг окружностей; у букв нет никаких украшений, закорючек и выступов, например, буква Г состоит из двух отрезков, образующих прямой угол, буква Д — это буква П (три отрезка), стоящая на подставке, похожей на П, но более широкой и низкой, буква К — угол, примыкающий к отрезку, буква Ж — симметрия с буквой К, буква О — объединение четырёх дуг окружностей, буква З — правая половина конструкции из двух касающихся равных окружностей, стоящих друг на друге, буква Й — дуга над тремя отрезками, буква С — три дуги от буквы О, буква Р — конструкция из двух отрезков и дуги окружности, примыкающая к вертикальному отрезку вверху и посередине, буква Л — два отрезка, образующие острый угол, и т.д. 2) Бесконечное множество называется несчётным, если оно не допускает взаимно однозначного отображения на множество натуральных чисел. Например, числовая прямая, отрезок ненулевой длины, окружность и плоскость представляют собой несчётные множества точек. Ну, а рациональные числа образуют, наоборот, счётное множество.