40 пиратов и капитан делят клад в 100 золотых монет. Пираты хотят получить вместе 80 монет, а капитан хочет получить все. Он предлагает игру. Капитан делит все монеты на 2 кучки, потом на 3 и так далее, пока все кучки не станут равными одной монете. Всего 99 ходов. Если на каком-либо ходе пираты найдут 40 кучек, сумма монет в которых равна 80, то они получают эти деньги. На каком минимальном ходу пираты обязательно получат деньги, как бы ни делил их капитан?

Внутри квадрата расположены N точек так, что никакие три из N+4 точек (N поставленных и 4 вершины квадрата) не лежат на одной прямой. Некоторые из этих N+4 точек соединены отрезками так, что все отрезки не пересекаются (но могут иметь общие концы). Какое минимальное число точек необходимо поставить,чтобы оказалось не менее 2020 отрезков (не считая сторон квадрата)?

Трехзначное число делится на 11 без остатка. При этом частное равно сумме квадратов цифр делимого. Найдите сумму всех таких трехзначных чисел.

Классный руководитель отправил своих учеников Антона, Бориса, Вадима, Григория и Дмитрия на олимпиаду по математике и предположил, что Антон займет первое место, Борис - второе, Вадим - третье, Григорий - четвертое и Дмитрий - пятое. Оказалось, что он не угадал ни одного правильного места, и ни одной пары следующей непосредственно друг за другом учеников. Учитель математики предположил, что последовательность будет такой: Григорий, Антон, Дмитрий, Вадим, Борис и угадал места двоих учеников и две пары непосредственно следующих друг за другом учеников. Установите верный порядок. В ответе укажите последовательность цифр 1 (соответствует Антону), 2 (соответствует Борису) и т.д. в порядке от первого места до последнего. Например, если бы учитель математики был прав, то ответом было бы число - 41532.

Пять точек на плоскости расположены так, что среди всех прямых соединяющих любые две из них нет параллельных, совпадающих и перпендикулярных друг другу. Через каждую из исходный точек проводятся перпендикуляры ко всем прямым, соединяющим каждые две из остальных четырех точек. Какое максимальное количество точек пересечения этих перпендикуляров между собой окажется, не считая исходных пять точек.

В прямой круговой конус объема V вписан шар. Около этого шара описан прямой круговой цилиндр, основание которого лежит в плокости основания конуса, а объем его равен U. Найдите минимально возможное k такое, что V=kU.

В тетраэдре ABCD: |AB|=a, |CD|=b, расстояние между прямыми AB и CD равно d, величина угла между этими прямыми равна a. Тетраэдр разделен на две части плоскостью P, параллельной противвоположным ребрам AB и CD. Вычислите отношение объёмов обеих частей (меньшего к большему), если известно, что отношение расстояния от AB до P к расстоянию от CD до P равно 3.

Какое .максимальное число шаров радиуса 1/2 можно вложить в прямоугольный параллелепипед размером 10×10×1.

Найдите пропущенное число:

На левом чертеже содержится большое количество различных n-угольников для различных n. На правом чертеже показан пример одного n-угольника для n=10.

Найдите максимально возможное n.

Ответ необходимо обосновать: показать, что многоугольник с найденным вами количеством сторон n существует, и доказать, что это n является максимальным.