Два игрока записывают 2n-значное натуральное число, используя лишь цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый игрок, вторую — второй, третью — опять первый, и так далее. Задача второго игрока добиться, чтобы число, полученное по окончании игры, делилось на 9. Задача первого — помешать второму. При каких n выигрывает первый, а при каких — второй? В ответе укажите количество значений n от 1 до 10 (включительно), при которых выигрывает первый.

Для изготовления цилиндрических труб диаметра 10 см используются прямоугольные заготовки шириной примерно 31.41592657 см. Но нужно изготовить две трубы, чтобы затем соединить их перпендикулярно. Поэтому одну сторону каждой из двух заготовок–прямоугольников нужно заменить на какую-то кривую. На рисунке она изображена как полуокружность, но на самом деле это другая кривая. Проведём на плоскости заготовки систему декартовых координат: ось x ровно по тому месту, где заготовка начинает закругляться, а ось y — как направленную вверх ось симметрии вдоль заготовки. Пусть y=f(x) — кривая стыковки. Чему равно число 100f''(0)? (Вторая производная при x=0, умноженная на 100.) Результат округлите до целого числа.

Найдите сумму ряда: .

Имеется предмет, о котором известно, что его вес составляет целое число кг от 1 до 27. Также есть чашечные весы, на обе чашки которых можно класть гири. Определите наименьшее количество гирь, с помощью которых можно определить вес предмета.

Каждую клетку прямоугольника 6×8 раскрасили в один из 12 различных цветов. Пара цветов называется плохой, если найдутся две клетки, имеющие общую сторону и закрашенные этими цветами. Найдите наименьшее число плохих пар.

Сколькими способами можно  записать все различные целые числа от 1 до n в одну строку так, чтобы выполнялось следующее условие: где-то после любого числа k, написанного не на последнем месте, должно встретиться хотя бы одно из чисел k−1 и k+1?

В оранжерее на космической станции в виде прямоугольника 7¹³×13⁷ расставлены горшки с цветами. На каждом цветке сидит по одной бабочке. Трижды хлопала дверь, и всякий раз каждая из 7¹³×13⁷ бабочек перелетала по диагонали на соседний цветок. После каждого хлопка на некоторых цветах оказывалось по несколько бабочек, а на некоторых — ни одной, и при этом каждая бабочка, в очередной раз перелетая, не возвращалась на свой прежний цветок. Найдите наименьшее возможное число цветов, на которых не сидит ни одной бабочки после трёх хлопков.

Перед двумя игроками кучка из 1000 спичек. В начале игры первый игрок берёт из неё любое количество спичек от 1 до 999, а затем каждый из игроков по очереди берёт любое число оставшихся спичек, но не больше, чем перед этим взял другой игрок. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Какое наименьшее количество спичек должен взять в начале игры первый игрок, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока?

На клетчатой бумаге отмечены точки A и B. Примем длину стороны клетки за 1. Посчитайте количество маршрутов идущих из A в B по сторонам клеток и имеющих длину 11. (Маршрут может менять направление только в углах клеток. Допускаются маршруты, проходящие несколько раз через одну вершину (включая A и B) или сторону клетки.)
 

Множество Q(n) состоит из слов длины 2n, в записи которых ровно n букв A и n букв B, обладающих следующим свойством: для каждого k ≤ 2n среди первых k букв количество букв B не меньше, чем букв A. Найдите мощность Q(8).