Целочисленная функция f(x) (f: Ν⁺ → N⁺) такая, что 0 < f(a) < f(b) для всех a < b и f(f(x)) = 3x. Найдите f(2023)+f(2022)+f(2021)-3f(2020).

1) Пусть a - число 5-значных чисел, кратных 3, которые не содержат цифры 2.
2) Пусть b - число 5-значных чисел, кратных 5, которые не содержат цифры 0.
3) Пусть c - число 5-значных чисел, кратных 7, которые не содержат цифры 2.
4) Пусть d - число 5-значных чисел, кратных 9, которые не содержат цифры 3.
Найдите a + b + c + d.

Как показано на рисунке △ABC разделяется на 3 части линиями DE и FG. DE || BC. FG делит трапецию BDEC на два "воздушных змея" BFGC и FDEG, все длины сторон в которых являются целыми числами. |GF| = |GC| = |GE| = 17, а |BD| = 35. Найти площадь синего треугольника △ADE.

Внутри треугольника ABC выбрана точка из которой проведены отрезки к каждому из углов треугольника. В результате исходный треугольник разбился на три неконгруэнтных треугольника с целочисленными сторонами. Найдите минимально возможную площадь треугольника ABC. В ответе введите квадрат этой площади.

В правильном шестиугольнике со стороной 3 нарисовали сетку из единичных равносторонних треугольников (смотри рисунок).

Художник время от времени подходит к рисунку с шестиугольником, окунает кисть в банку с краской и закрашивает по линиям сетки весь контур одного равностороннего треугольника любого размера. При этом контур очередного закрашиваемого треугольника может проходить по каким-то ранее закрашенным местам.

За какое минимальное количество подходов художник может закрасить всю сетку (включая границу шестиугольника)?

На рисунке изображён пример частичного закрашивания сетки после 4-х подходов (исключительно для красоты художник использовал разные цвета).

В качестве решения необходимо предъявить доказательство минимальности того количества подходов, которое вы нашли.

Суммы цифр натуральных чисел N и N+1 кратны 22. Найдите наименьшее число N. 

Полный набор  игры « Чудо дерево» состоит из восьми фигурок(смотрите рисунок).

Из полного набора сложить выпуклый n-угольник без просветов и наложений. Фигурки можно поворачивать и переворачивать.

Какие значения может принимать n? В ответе укажите сумму всех различных значений n.