Какое наименьшее число прямолинейных разрезов нужно сделать, чтобы уложить прямоугольный торт 25 см на 36 см в квадратную коробку 30 см на 30 см? (Одним разрезом можно резать только один кусок торта!) В ответе опишите, как именно следует разрезать торт, но лучше всего просто пришлите рисунок.

Разбиение прямоугольного треугольника со сторонами 390, 520 и 650 его средними линиями на 4 части имеет диаметр 325. (Диаметр разбиения — это наименьшее из всех чисел, каждое из которых больше или равно расстоянию между любыми двумя точками из одной части разбиения.) Найдите минимальный диаметр разбиения этого треугольника на 4 части.

Есть 4 кучи камней: в первой — 3 камня, во второй — 4, в третьей — 5, в четвёртой — 6. Играют двое, ходят по очереди. Каждым ходом разрешается либо взять один камень из любой (но только одной) кучи при условии, что после взятия в этой куче останется более одного камня, либо взять любую (но только одну) кучу целиком, при условии, что в этой куче не менее двух, но не более трёх камней. Выигрывает тот, кто возьмёт последний камень (сделает все кучи пустыми). Кто победит при правильной игре? Если первый игрок, введите 1, если второй — 2, если ничья — 0.

Чевианой называют отрезок соединяющий вершину треугольника с его противоположной стороной или её продолжением. Нас будут интересовать чевианы, которые делят треугольник на два треугольника с равными вписанными окружностями. Найдите площадь треугольника, в котором длины таких чевиан равны: 996, 1490, 2685. Результат округлите до ближайшего целого числа.

В компании N друзей. На протяжении нескольких дней, ежедневно, какие-нибудь трое из них ужинали вместе. Притом за это время каждые двое (из N) поужинали вместе ровно по одному разу. Какие остатки может давать N при делении на 6? В ответе введите без пробелов все возможные остатки в порядке возрастания.

Внутри прямоугольника со сторонами 20 и 30 отмечена точка . Найдите минимальное значение выражения .

Внутри прямоугольного треугольника ABC нашлись две точки, одна из которых удалена от прямых AB, BC и CA на расстояния 20, 24 и 30 соответственно, а другая — на расстояния 30, 26 и 20. Найдите сумму всех возможных значений периметра треугольника ABC.

Единичный вектор проектируется на прямые, содержащие диагонали правильного одиннадцатиугольника. Сумма указанных проекций образует вектор a. Найти максимальное значение длины вектора a.

Даны чашечные весы, имеющие особенность — они могут выдержать ровно 3 взвешивания (неважно в каком порядке) неравных грузов, после чего ломаются. Одинаковые веса можно уравновешивать на этих весах бесконечное количество раз. Среди N монет есть одна фальшивая, вес которой меньше настоящих. Найдите максимальное N при котором можно найти фальшивую не более, чем за 7 взвешиваний на этих весах.

На листе бумаги в форме равностороннего треугольника со стороной 30 см разбрызганы капли чернил. Если на этом листе нарисовать (косоугольную) систему координат с произвольным началом, осями, параллельными любым двум сторонам листа, и масштабом 1 см вдоль обеих осей, то хотя бы одна точка с целыми координатами обязательно окажется окрашенной чернилами. Какое наименьшее целое число квадратных миллиметров может составлять общая площадь всех клякс? (Можно считать, что каждая клякса — многоугольник или круг, а всех клякс — конечное число.)