Трехчлены x²+ax+b и x²+ax-b, где a и b - натуральные числа и НОД(a,b)=1, приводимы в целых числах (т. е. могут быть представлены в виде произведения двучленов с целыми коэффициентами). Найти минимальное значение b, для которого существуют два различных значения a. 

Пусть x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ - натуральные числа, которые удовлетворяют соотношениям:
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 1000,
x₁ - x₂ + x₃ - x₄ + x₅ > 0,
x₁ + x₂ - x₃ + x₄ - x₅ > 0,
-x₁ + x₂ + x₃ - x₄ + x₅ > 0,
x₁ - x₂ + x₃ + x₄ - x₅ > 0,
-x₁ + x₂ - x₃ + x₄ + x₅ > 0,
и при этом значение (x₁ + x₃)^x₂+x₄ - наибольшее.

Скольким сушествует таких различных наборов (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)?

Обезьянке, у которой не было ни одного кокоса, вечером подарили волшебное дерево. С дерева каждый день рано утром падает один кокос. На рынке в середине дня можно купить новое точно такое же дерево - оно стоит 12 кокосов. Уже на следующий день рано утром новое дерево даст первый кокос. Обезьянка хочет накопить 48 кокосов, и она придумала способ, как сделать это за наименьшее число дней. На какой по счёту день обезьянка накопит не меньше 48 кокосов?

Замечание: Первым считаем день, когда обезьянке подарили дерево (а первый кокос появился у обезьянки на второй день). Продавать деревья нельзя.

Пусть p и q − положительные целые числа такие, что оба уравнения x²-px + q= 0 и x²-qx + p = 0 имеют различные целые корни. Найдите значение p+q.

Из всех 10 цифр (0, 1, 2, ..., 9) составили два пятизначных числа, при этом использовали все цифры и одно число оказалось меньше второго ровно в два раза. Найдите наименьшее число.