Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел a₁, a₂, .., a_n, с разностью 2, обладающей свойством: a²_k+1 - простое при всех k = 1, 2, . . . , n?

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: - Кто Ваш сосед справа — умный или дурак?
В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F. При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

У трех студентов-математиков на шляпах написаны натуральные числа, студенты не знают что написано на своих шляпах, но видят числа на шляпах других. При этом они знают, что одно число равно сумме двух других. Их задача - определить свои числа.

Дальше прошел такой диалог.

1: «Я не знаю свое число».
2: «И я не знаю свое число».
3: «Я тоже не знаю свое число».
1: «Я все равно не знаю свое число».
2: «Я тоже еще не знаю»
3: «А я знаю — у меня число 60, а у первого самое маленькое возможное число для решения этой задачи».

Какое число у первого?

Из всех 10 цифр (0, 1, 2, ..., 9) составили два пятизначных числа, при этом использовали все цифры и одно число оказалось меньше второго ровно в два раза. Найдите наименьшее число.