Имеется 2000 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

Дано N натуральных чисел, не превосходящих 100000. Известно, что все числа различны, и ни одно из них не равно произведению двух других.

Найти максимальное N.

Клетки бесконечной вправо клетчатой полоски последовательно занумерованы числами
0, 1, 2, ….В некоторых клетках лежат камни. Если на i-ой клетке (i > 0) лежит ровно i камней, то разрешается снять их с нее и разложить по одному на клетки с номерами i–1, i–2, …, 0. Леша разложил 2006! камней по клеткам, начиная с первой, так, чтобы можно было собрать их в нуле, сделав несколько операций. Каким может быть минимальный номер клетки, на которой лежит камень?

Про 27 монет известно, что 26 из них настоящие и весят 1 грамм, а ещё одна монета фальшивая и весит m, m+1 или m+2 граммов (где m — натуральное число, известное взвешивающему). Оказалось, что за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить вес фальшивой монеты. При каком наибольшем m это возможно?

На окружности отмечены 2006 точек. Сначала Петя проводит N хорд с концами в этих точках. Затем Валя красит половину отмеченных точек в один цвет, а остальные – в другой. Петя выигрывает, если найдется хорда с концами разного цвета. При каком наименьшем N Валя не сможет ему помешать?

Суду в качестве вещественного доказательства предъявлено 100 одинаковых по весу монет, вес каждой больше 10 г (однако суд не знает, что они одинаковы). К сожалению, имеющиеся в суде весы показывают вес любого груза с отклонением ровно в 1 г — иногда в бóльшую, а иногда в меньшую сторону (и, к счастью, суд знает об этом). При каком наибольшем k эксперт может доказать суду, что среди монет есть не менее k одинаковых?

В очереди стояло 20 человек. Касса сломалась, и все перешли в соседнюю только что открывшуюся кассу. Сколькими способами они могут выстроиться в новую очередь так, чтобы человек, стоявший на месте с номером k изменил свой номер в очереди не более чем на k?

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: - Кто Ваш сосед справа — умный или дурак?
В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F. При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

У трех студентов-математиков на шляпах написаны натуральные числа, студенты не знают что написано на своих шляпах, но видят числа на шляпах других. При этом они знают, что одно число равно сумме двух других. Их задача - определить свои числа.

Дальше прошел такой диалог.

1: «Я не знаю свое число».
2: «И я не знаю свое число».
3: «Я тоже не знаю свое число».
1: «Я все равно не знаю свое число».
2: «Я тоже еще не знаю»
3: «А я знаю — у меня число 60, а у первого самое маленькое возможное число для решения этой задачи».

Какое число у первого?