50 гангстеров стреляют друг в друга одновременно. Каждый стреляет в ближайшего к нему гангстера (или в одного из ближайших, если несколько человек находятся на равном расстоянии от него) и убивает его наповал. Найдите наименьшее возможное количество убитых. (Гангстеры — это различные точки на плоскости.)

Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел m и n равен 1. Каково максимально возможное значение НОД чисел m+100n и n+100m?

С целью ухода от налогов первый из 5 друзей торговцев одолжил остальным столько денег, сколько было у каждого. Затем также поступил второй, потом третий, потом четвёртый, и наконец пятый. После всех пяти процедур капитал каждого не изменился. Каков капитал первого торговца, если капитал последнего составляет 100 экю?

В колонию из 2009 бактерий попадает вирус. Через секунду он уничтожает одну бактерию. Ещё через секунду все бактерии и все вирусы делятся надвое. Далее каждый вирус через секунду после своего рождения уничтожает одну бактерию, а ещё через секунду после этого все бактерии и все вирусы делятся надвое. Через сколько секунд после попадания вируса все бактерии будут уничтожены?

Вам нужно попасть в тайную комнату. У входа в неё стоит диск (на картинке синий) с четырьмя отверстиями (на картинке жёлтыми), расположенными в вершинах квадрата.

Внутри каждого отверстия спрятан переключатель, имеющий 2 положения: от центра диска (на картинке белое) и к его центру (на картинке чёрное). Разрешается засунуть руки в какие-либо 2 отверстия, пощупать, как стоят переключатели, и переключить один из них или оба. (Ничего не переключать нельзя!) После этого диск приходит в быстрое вращение, так что после его остановки уже нельзя установить, в какие именно отверстия Вы засовывали руки в прошлый раз. Дверь в комнату открывается, если во время вращения диска все переключатели стоят одинаково (все к центру или все от центра). Какое наименьшее число раз нужно засунуть руки в отверстия, чтобы гарантированно попасть в тайную комнату при полном отсутствии везения? Учтите, что исходные положения переключателей неизвестны — они могут стоять вразнобой...

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство |x|+|y|≤2009 ?

У Вас есть два одинаковых стеклянных шарика. Вы бросаете их — можно по одному — с разных этажей 36-этажного небоскрёба, чтобы выяснить, на каком этаже они начинают разбиваться от падения. (Например, на пятом уже разбиваются, а на четвёртом еще нет.) Разрешается сделать не более n бросков и разбить оба шарика. Найдите минимальное значение n, при котором ещё возможно гарантированно определить, при броске с какого именно этажа шарики начинают разбиваться. Учтите, что шарик может разбиться и на первом этаже, а может не разбиться и на последнем.

Окружим Землю вдоль экватора ремнём, так чтобы он плотно прилегал к поверхности по всей длине. Землю будем считать идеальным шаром с радиусом 6 400 000 метров. Увеличим длину ремня на 1 метр. Теперь возьмём за одну точку ремня и натянем его так, чтобы ремень плотно прилегал к противоположной точке экватора, в результате точка, за которую мы потянули, поднимется над экватором на некоторую высоту. Чему будет равна эта высота? В ответе укажите ближайшее целое число метров. 

Иголку длиной 10 см случайно бросают на разлинованную бумагу, расстояние между соседними линиями которой тоже 10 см. Сколько процентов составляет вероятность того, что упавшая иголка пересечёт линию бумаги? Ответ округлите до ближайшего целого числа.

Найдите все простые p и q, для которых выполняется равенство p+q=(p−q)³. В ответе укажите сумму всех таких p и q.