Сколько существует пар целых чисел (m>2, n>2), для каждой из которых существует бесконечно много таких натуральных чисел k, что (k^m+k−1) делится на (kⁿ+k²−1)?

Через точку на окружности единичного радиуса (r=1) проведена прямая на расстоянии  от ее центра . На прямой  вне окружности и слева от точки отметим на расстоянии  от нее точку , а на расстоянии  слева от точки  - точку  и проведем через них окружности с центром в т.  так, что получим три различные концентричные окружности (см. рис.). Через каждую точку проведем касательную к окружности на которой она лежит так, что пересечение этих касательных образуют треугольник .

Из двух прямых, которые можно провести через точку на окружности на данном расстоянии от ее центра - рассматривается только одна из них. Из двух лучей, на которые окружность делит эту прямую, точки откладываются только на одном. Так, как это показано на рисунке. 

Если  и  натуральные числа, существует  точек  и соответствующих им точек  таких, что площади всех треугольников  равны, причем . Найдите все такие точки , в ответе укажите сумму соответствующих им .

На окружности  выбраны точки , , , для которых 
, , .
На прямой, касающейся окружности  в точке , выбраны точки , , такие что
, , , .
Прямые  и  пересекают окружность  в точках  и , прямая  пересекает прямую  в точке , причем точка  лежит между  и . Найдите длину отрезка .

Дана окружность и прямая линия, которая проходит через ее центр. На окружности отмечена точка, не лежащая на прямой. При помощи одной линейки без делений постройте перпендикуляр от точки к прямой. 

В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки< доски размера 10x10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более, чем пяти различных цветов?