Команда из 25 школьников участвует следующем конкурсе. Каждому из них надевают кепку одного из трёх заранее известных цветов так, что каждый видит кепки своих друзей, но не видит своей. После этого каждый школьник пишет на карточке свою фамилию и предполагаемый цвет своей кепки (подглядывать, что пишут другие, нельзя). Команда получает столько очков, сколько было сдано карточек с правильными ответами. Какое наибольшее число очков может гарантированно обеспечить себе команда, если школьники заранее договорятся о своих действиях?

Жили были три поросёнка. Один из них всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий — дипломат: может и правду сказать, и соврать. Но неизвестно, кто есть кто. Они же, как водится в таких задачах, всё знают друг про друга. Какое наименьшее число вопросов типа "да–нет" нужно задать, чтобы наверняка узнать, кто есть кто? Каждый вопрос можно задавать любому (но только одному!) поросёнку.

Чему равна последняя цифра числа [10²⁰⁰⁰⁰/(10¹⁰⁰+3)], где [x] означает "целая часть числа x"?

Точка A лежит вне прямой a, на которой отмечены 2011 различных точек. Известно, что расстояние от точки A до прямой a, а также между любыми двумя из всех упомянутых 2012 точек является целым числом. Найдите наименьшее возможное расстояние между прямой a и точкой A.

Натуральные числа a и b таковы, что число — целое и . Каков максимально возможный наибольший общий делитель чисел a и b?

Сколько существует пар целых чисел (m>2, n>2), для каждой из которых существует бесконечно много таких натуральных чисел k, что (k^m+k−1) делится на (kⁿ+k²−1)?

Через точку на окружности единичного радиуса (r=1) проведена прямая на расстоянии  от ее центра . На прямой  вне окружности и слева от точки отметим на расстоянии  от нее точку , а на расстоянии  слева от точки  - точку  и проведем через них окружности с центром в т.  так, что получим три различные концентричные окружности (см. рис.). Через каждую точку проведем касательную к окружности на которой она лежит так, что пересечение этих касательных образуют треугольник .

Из двух прямых, которые можно провести через точку на окружности на данном расстоянии от ее центра - рассматривается только одна из них. Из двух лучей, на которые окружность делит эту прямую, точки откладываются только на одном. Так, как это показано на рисунке. 

Если  и  натуральные числа, существует  точек  и соответствующих им точек  таких, что площади всех треугольников  равны, причем . Найдите все такие точки , в ответе укажите сумму соответствующих им .

На окружности  выбраны точки , , , для которых 
, , .
На прямой, касающейся окружности  в точке , выбраны точки , , такие что
, , , .
Прямые  и  пересекают окружность  в точках  и , прямая  пересекает прямую  в точке , причем точка  лежит между  и . Найдите длину отрезка .