Перед двумя игроками 5 кучек из спичек: в первой — 7, во второй — 10, в третьей — 18, в четвёртой — 19 и в пятой — 24 спички. Каждый игрок своим ходом берёт любое (ненулевое) число спичек из одной или двух кучек по своему выбору — например, можно взять только одну спичку, а можно и все спички из двух кучек, но вообще не брать спичек или брать спички из трёх разных кучек нельзя. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек и из каких кучек должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе введите общее количество взятых спичек.

Гусеница сидит внутри закрытой коробки высотой 24 см посередине её вертикального ребра. Посередине самого дальнего от гусеницы вертикального ребра в коробке есть маленькое отверстие, через которое гусеница хочет выбраться на свободу. Известно, что к отверстию ведут n различных кратчайших путей равной длины. При каких длине и ширине коробки значение n максимально и чему оно равно? В ответе укажите сумму длин в см всех n кратчайших путей гусеницы до отверстия при наибольшем значении n.

Найдите число всех пар (m,n) целых чисел таких, что 1 ≤ m ≤ 2009²⁰⁰⁹, 1 ≤ n ≤ 2009²⁰⁰⁹ и |m² + mn − n²| = 1.

У Вас есть три одинаковых пластмассовых шарика, и Вы хотите выяснить, после броска с какого этажа 119-этажного небоскрёба на них начинают появляться трещины. (Например, если сбросить с 20-го, то трещины появляются, а на 19-м ещё нет.) Чтобы определить, появились ли трещины, нужно выйти на улицу и осмотреть шарик. Прежде чем выйти на улицу, Вы можете сбросить с разных этажей все имеющиеся в наличии нетреснувшие шарики. Разрешается выйти на улицу не более, чем n раз. При каком минимальном значении n ещё возможно гарантированно определить, после броска с какого именно этажа шарики начинают покрываются трещинами. Учтите, что шарик может покрыться трещинами и при падении с первого этажа, а может остаться целым и при падении с последнего.

Найдите максимально возможное целое значение отношения (x+y+z)²/(xyz), где x, y и z — положительные целые числа.

Перед двумя игроками 3 кучки спичек. В первой кучке 111 спичек, во второй — 114, а в третьей — 116 спичек. Каждый из игроков своим ходом берёт из любой (но только одной!) кучки произвольное целое число спичек от 1 до 11 включительно. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку со стола. Сколько спичек и из какой кучки должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе напишите подряд, без пробелов, номер кучки и количество спичек.

Доказать, что степень двойки 2ⁿ при любом целом n>2 представляется в виде 2ⁿ=7x²+y², где x и y — нечётные целые числа.

Найдите действительные числа x, y и z, удовлетворяющие следующим уравнениям и неравенствам:

x–2y–xy²=0, y–2z–yz²=0, z–2x–zx²=0, x>y>z.

В ответе укажите значение x.

Решите уравнение x^y=y^x в рациональных числах. В ответе укажите количество его различных решений, удовлетворяющих неравенствам: x>y, x>11/4.

Команда из 25 школьников участвует следующем конкурсе. Каждому из них надевают кепку одного из трёх заранее известных цветов так, что каждый видит кепки своих друзей, но не видит своей. После этого каждый школьник пишет на карточке свою фамилию и предполагаемый цвет своей кепки (подглядывать, что пишут другие, нельзя). Команда получает столько очков, сколько было сдано карточек с правильными ответами. Какое наибольшее число очков может гарантированно обеспечить себе команда, если школьники заранее договорятся о своих действиях?