На окружности отмечена точка, из которой по часовой стрелке циркулем делается засечка. Из полученной точки в том же направлении тем же радиусом делается вторая засечка, и так повторяется 2009 раз. После этого окружность разрезается во всех 2009 засечках, и получается 2009 дуг. Какое максимально возможное число дуг различной длины может при этом получиться?

В некоторой стране 25 аэродромов. С каждого из них вылетел самолёт и приземлился на самом удалённом от места старта аэродроме. В результате все 25 самолётов оказались на n аэродромах. Какие значения из промежутка от 1 до 25 не может принимать n? В ответе укажите сумму найденных (невозможных) значений.

Землю можно считать плоской, а маршруты — прямыми. Все расстояния между аэродромами предполагаются различными. Число n зависит только от взаимного расположения аэродромов.

Среди нескольких компьютерных чипов есть два поддельных, которые обладают повышенной радиоактивностью, а в остальном не отличаются от настоящих. В имеющийся прибор можно засунуть любое количество чипов и узнать, есть ли среди них радиоактивный (но нельзя понять, сколько именно — один или два). Каково максимальное число чипов, среди которых можно гарантировать обнаружение обоих поддельных за 7 проверок?

В соревнованиях по десятиборью участвуют 1024 человека. Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы, причём силы разных спортсменов различны. Соревнования проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг, и т.д., пока в 10-м виде программы не будет определен победитель. Назовем спортсмена "заведомым аутсайдером", если при любом порядке видов спорта в программе он не может стать победителем. Каково минимально возможное число заведомых аутсайдеров?

Витязи накануне хорошо отдохнули и перед выходом из моря построились не по росту. Перестраиваться они не соглашаются, но их морской дядька может приказать некоторым из них выйти из строя так, чтобы оставшиеся стояли по росту либо в порядке убывания, либо в порядке возрастания. Какое максимальное число витязей он сможет вывести из моря при их наихудшей для него (и наилучшей для них) первоначальной расстановке? Витязи все разного роста, а всего их, как известно, 30.

В центре круглой арены сидит лиса, а на её краю — заяц. Лиса хочет догнать зайца, который мечтает от неё убежать. Лиса может бегать по всей арене, а заяц лишь по её краю. Оба они могут двигаться с одной и той же максимальной скоростью, позволяющей им обежать всю арену по её краю за одну минуту. Через сколько секунд лиса догонит зайца, если их стратегии оптимальны? (Если Вы считаете, что лиса не сможет догнать зайца, то введите 0.)

Пояснения: лиса — это точка на круге, а заяц — на его окружности; на ускорение ограничений нет: желаемую скорость они способны набирать мгновенно.

Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 7, либо 8, либо 9 человек. На какое наименьшее число кусков ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну и между семью, и между восемью, и между девятью гостями?

Квадрат N×N (N≥1000 — натуральное число) разбит на k квадратов, наименьший из которых имеет сторону 1. Найдите минимально возможное k.

18 монет пронумерованы с 1 до 18. Первому игроку известно, что монеты с номерами 1,2,...,9 настоящие, а монеты с номерами 10,11,..,18 - фальшивые. Обоим игрокам известно, что фальшивые монеты легче, чем настоящие (при этом все фальшивые весят одинаково, и все настоящие весят одинаково). Второму игроку неизвестно, ни сколько монет фальшивых, ни их номера. За какое минимальное количество взвешиваний на весах без гирек первый игрок может доказать второму, что монеты 1,2,...,9 - настоящие, а 10,11,..,18 - фальшивые?