Витязи накануне хорошо отдохнули и перед выходом из моря построились не по росту. Перестраиваться они не соглашаются, но их морской дядька может приказать некоторым из них выйти из строя так, чтобы оставшиеся стояли по росту либо в порядке убывания, либо в порядке возрастания. Какое максимальное число витязей он сможет вывести из моря при их наихудшей для него (и наилучшей для них) первоначальной расстановке? Витязи все разного роста, а всего их, как известно, 30.

Сначала напишем на доске две единицы: 1 1. На втором шаге напишем между ними их сумму и получим: 1 2 1. На каждом следующем шаге будем вписывать между всеми соседними числами, написанными на предыдущих шагах, их суммы. Получим: 1 3 2 3 1, 1 4 3 5 2 5 3 4 1, 1 5 4 7 3 8 5 7 2 7 5 8 3 7 4 5 1,... Сколько раз мы напишем число 2009, если будем продолжать эту процедуру до бесконечности?

В центре круглой арены сидит лиса, а на её краю — заяц. Лиса хочет догнать зайца, который мечтает от неё убежать. Лиса может бегать по всей арене, а заяц лишь по её краю. Оба они могут двигаться с одной и той же максимальной скоростью, позволяющей им обежать всю арену по её краю за одну минуту. Через сколько секунд лиса догонит зайца, если их стратегии оптимальны? (Если Вы считаете, что лиса не сможет догнать зайца, то введите 0.)

Пояснения: лиса — это точка на круге, а заяц — на его окружности; на ускорение ограничений нет: желаемую скорость они способны набирать мгновенно.

В центре круглой арены сидит лиса, а на её краю — заяц. Лиса хочет догнать зайца, который мечтает от неё убежать. Оба они могут двигаться с одной и той же максимальной скоростью, позволяющей им обежать всю арену по её краю за одну минуту. Но на этот раз и лиса, и заяц могут бегать по всей арене (ср. с задачей 102). Через сколько секунд лиса догонит зайца, если их стратегии оптимальны? (Если Вы считаете, что лиса не сможет догнать зайца, то введите 0.)

Пояснения: лиса и заяц — точки на круге; на ускорение ограничений нет: желаемую скорость они способны набирать мгновенно.

Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 7, либо 8, либо 9 человек. На какое наименьшее число кусков ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну и между семью, и между восемью, и между девятью гостями?

Квадрат N×N (N≥1000 — натуральное число) разбит на k квадратов, наименьший из которых имеет сторону 1. Найдите минимально возможное k.