Поверхность правильного октаэдра разрезать на как можно меньшее количество равных частей и ими оклеить без просветов и наложений простую (тригональную) бипирамиду. Чему равно количество частей?

Простая (тригональная) бипирамида - это многогранник, состоящий из двух равных правильных тетраэдров, имеющих общую грань.

На листе бумаги нарисована одна из разверток куба, состоящая из шести равных квадратов. Сложите этот лист, сделав несколько сгибов, и сделайте только один прямолинейный разрез ножницами так, чтобы лист оказался разрезан на две части, одна из которых – развертка куба. В ответе укажите наименьшее число сгибов.

Уточнения: сгиб – это поворот на 180° одной части фигуры вокруг некоторого отрезка прямой этой фигуры.

В треугольник со сторонами 5, 6 и 9 вписан круг и построены к нему касательные, параллельные сторонам треугольника. Эти касательные отсекают три новых треугольника, в каждый из которых также вписаны круги. Вычислите сумму площадей всех четырех кругов. Эта сумма представляется в виде π*p/q, где p и q - целые числа. В качестве ответа введите p/q.

Учитель дал детям три задачи: A, B, C. 25 школьников решили хотя бы одну задачу. Среди школьников, не решивших задачу A, но решивших B, в два раза больше, чем решивших C. Школьников, решивших только задачу A, на одного больше, чем остальных школьников, решивших задачу A. Сколько школьников решили только задачу B, если среди школьников, решивших только одну задачу, половина не решила задачу A?

В треугольнике с целочисленными сторонами длина биссектриса угла, образованного двумя сторонами 27 и 15, является целым числом. Найти периметр этого треугольника.

На олимпиаде, которая длилась n дней, было вручено m медалей. В первый день была вручена одна медаль и еще 1/7 от оставшихся m-1 медалей. Во второй день были вручены две медали и еще 1/7 от оставшихся после этого медалей и т. д. Наконец, в n-й день были вручены оставшиеся n медалей. Сколько было всего медалей вручено? 

В квадрате 3х3 находятся восемь квадратных фишек 1х1 со стрелками и одно свободное место в центре. Все стрелки направлены в центр квадрата (рис. слева).

Передвигая поочередно фишки на свободное место добейтесь расположения фишек, чтобы все стрелки были направлены от центра (рис. справа). В ответе укажите наименьшее число ходов. Ход – это передвижение фишки на соседнее свободное место по вертикали или горизонтали.

Отношение произведения расстояний от ортоцентра до сторон остроугольного треугольника с целочисленными сторонами разной длины, образующих арифметическую прогрессию, к произведению  расстояний от него до вершин является кубом рациональной дроби. Найти наименьший возможный периметр такого треугольника.

Числа натурального ряда записаны на клетчатой бумаге в форме спирали: в одной из клеток записано число 1, справа от неё в соседней клетке записано число 2, вниз от неё в соседней клетке записано число 3, и так далее, двигаясь по часовой стрелке образуется спираль из натурального ряда.

В ней можно выделить концентрические квадратные рамки, центром которых является клетка с числом 1. Найдите сумму чисел в рамке размером 101х101.

В каждой из 18-и строк следующей таблицы задана длина стороны равностороннего треугольника - d, и расстояния от некоторой точки на этой же плоскости до трёх вершин треугольника: a, b и c.

По этим данным нужно определить для каждой строки, находится ли точка внутри треугольника.

Ответ должен состоять из 18-и нулей и единиц: Каждой строке соответствует "1", если точка находится внутри треугольника, и "0" в противном случае.